This page is the ONELINE MIRROR VERSION of the 2nd Addon Course the course Electromagnetics.A, CourseID PHYS1004.09, 2026 Spring, 5401, USTC. Last update : 2026/7/19; Status: @ editing, updating, final

第二次习题课

Problem Exam 1-均匀介质球均匀带电静电问题

【本题考查电介质和静电能；取自24春电磁学H班期中试题】

真空中有一半径为$R$、相对介电常数为$\varepsilon_r$的均匀电介质球，球体内均匀带有总自由电荷$Q$。求解下列问题：

1. 求球内部的极化体电荷以及球表面的极化面电荷；
2. 求球内部的静电能、球外部的静电能以及系统的总静电能；
3. 求系统的宏观静电能与极化静电能；
4. 若该介质球的电导率为$\sigma$，求任意时刻$t$、距离球心$r$处球内部的电场强度与电流密度；
5. 求系统到达静电平衡态时产生的焦耳热。

本题研究真空中半径为$R$、相对介电常数$\varepsilon_r$的均匀电介质球，体内均匀带自由总电荷$Q$。首先明确：题目表述虽写“导体球”，但导体球静电平衡内部场强为零、无极化，不可能出现体内极化电荷与体内电场，因此实际为均匀带电线性电介质球。 基本已知量：真空介电常数$\varepsilon_0$，介质介电常数$\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$；自由电荷均匀体分布，具有严格球对称性，电场、电位移、极化强度均沿径向，仅与$r$有关，可用高斯定理与静电场基本关系求解。

解题整体思路： 利用电位移高斯定理先求球内、球外$\boldsymbol D$，再求电场$\boldsymbol E$； 由极化强度定义$\boldsymbol P=(\varepsilon_r-1)\varepsilon_0\boldsymbol E$求$\boldsymbol P$； 利用极化电荷体密度$\rho_p=-\nabla\cdot\boldsymbol P$、面密度$\sigma_p=P|_{r=R}$求内外极化电荷； 用电场能量密度$w_e=\dfrac12\boldsymbol E\cdot\boldsymbol D$体积积分求球内、球外、总静电能； 区分宏观电场能与极化附加能； 考虑介质有漏电电导率$\sigma$，自由电荷随时间指数弛豫，求任意时刻场强与电流密度； 能量守恒，初始静电能与末态静电能之差全部转化为平衡态焦耳热。解答如下：

1. 自由电荷体密度 $$ \rho = \dfrac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} $$ 由$\displaystyle\oint \boldsymbol D\cdot d\boldsymbol S = \sum q_{\text{free}}$：

球内 $r<R$：

球外 $r>R$：

极化强度

球对称散度

代入求导计算得极化体密度

球内总极化电荷

球面极化面密度

球面总极化电荷

满足极化电荷总和为零：$Q_{p\text{内}}+Q_{p\text{表}}=0$。

2. 电场能量密度 $$ w_e = \dfrac12 \boldsymbol E\cdot\boldsymbol D $$

球内能量：

积分计算得

球外能量：

总静电能

3. 球内宏观静电能：

   $$ W_{\text{e0内}}=\iiint_V \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 dV=W_1 /\varepsilon_r $$

   球外宏观静电能$W_{\text{e0外}}=W_2$，从而总宏观静电能

   $$ W_{e0}= \dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}\left(1+\frac{1}{5\varepsilon_r^2}\right) $$

   极化静电能为总场能减去宏观场能

   $$ W_\text{极化} = W_e - W_\text{e0}= \dfrac{Q^2}{40\pi\varepsilon_0\varepsilon_r R}\left(1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right) $$

4. 介质弛豫过程，自由电荷体密度随时间衰减

   $$ \rho(t) = \rho_0 e^{-\frac{\sigma}{\varepsilon_0\varepsilon_r}t} $$

   由高斯定理得球内电场

   $$ \boldsymbol E(r,t) = \dfrac{\rho(t)\,r}{3\varepsilon_0\varepsilon_r}\boldsymbol e_r = \dfrac{Q r}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r R^3} e^{-\frac{\sigma}{\varepsilon_0\varepsilon_r}t}\,\boldsymbol e_r $$

电流密度$\boldsymbol J=\sigma\boldsymbol E$：

5. 稳态平衡后电荷全部移至球面，内部场强为0，末态静电能 $$ W_\infty = \dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} $$ 能量守恒，损耗的能量全部变为焦耳热 $$ Q = W_e - W_\infty = W_1 = \dfrac{Q^2}{40\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r R} $$

Problem Exam 2-均匀电流场中置入导电球

【本题考查电介质、拉普拉斯方程解和欧姆定律；取自24春电磁学H班期中试题】

无限大均匀导电介质电导率$\sigma_0$，原有均匀稳恒电流场$\boldsymbol J_0=\sigma_0\boldsymbol E_0$；放入半径$R$、电导率$\sigma$的导电球。稳恒电流场无自由体电荷，电势满足拉普拉斯方程$\nabla^2\varphi=0$；系统轴对称，取外场沿$z$轴，求

1. 球内外电势、电场
2. 导体球表面电荷分布
3. 球内焦耳热功率

解题思路： 写出球内、球外拉普拉斯方程轴对称通解形式； 代入无穷远与球面边界条件定系数； 由$\boldsymbol E=-\nabla\varphi$求内外电场； 由电场法向跃变求球面感应电荷分布与电偶极矩； 写出球内焦耳功率表达式，对$\sigma$求导找极值，求最大功率。解答如下：

1. 球内： $$ \varphi_1(r,\theta) = -\dfrac{3\sigma_0}{\sigma+2\sigma_0} E_0 r\cos\theta $$ 球外： $$ \varphi_2(r,\theta) = -E_0 r\cos\theta+ \dfrac{R^3}{r^2}\cdot \dfrac{\sigma-\sigma_0}{\sigma+2\sigma_0}E_0 \cos\theta $$

球内均匀电场：

球外为原场叠加感应偶极子场：

2. 感应电偶极矩大小 $$ p = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \cdot \dfrac{\sigma-\sigma_0}{\sigma+2\sigma_0} E_0 $$

由界面法向电场跃变

代入化简得球面电荷分布

3. 焦耳功率密度 $w=\boldsymbol J\cdot\boldsymbol E=\sigma E_1^2$ 总功率 $$ P(\sigma) = \sigma E_1^2 \cdot \dfrac43\pi R^3 $$ 代入$E_1$： $$ P(\sigma) = \dfrac{12\pi R^3 \sigma_0^2 E_0^2 \,\sigma}{(\sigma+2\sigma_0)^2} $$

令$f(\sigma)=\dfrac{\sigma}{(\sigma+2\sigma_0)^2}$，求导并令导数为零，解得

代入得最大功率

Problem Exam 3-流体介质与导体球静力学

【本题考查静电能特别是静电压强、静力平衡；取自24春电磁学H班期中试题】

无限大平面被一条水平直线分为两部分，有一半径为$R$、密度为$\rho$的导体球，球心过水平直线。在球外部，水平直线下侧充满密度为$\rho_1$、相对介电常数为$\varepsilon_{r1}$的液体；上侧充满密度为$\rho_2$、相对介电常数为$\varepsilon_{r2}$的液体。其中$\rho_1>2\rho$，$\rho_2\ll\rho$。求解以下问题：

1. 当球所带电荷量$Q$为多少时球可以在该位置保持平衡；
2. 系统的电容；
3. 若下半介质和上半介质电导率分别为$\sigma_1$、$\sigma_2$，求介质的总电阻和耗散时间常数$\tau$。

分析：导体球为等势体，球面自由电荷会按照介质的介电常数分布；极化电荷由介质在电场中极化产生，总电荷为自由电荷与极化电荷的代数和。

解题思路：利用导体球在双层介质中自由电荷按介电常数分配的规律，先求解上下半球的自由电荷；再根据极化电荷与自由电荷的关系计算极化电荷；最后将自由电荷和极化电荷相加得到总电荷。解答如下：

1. 导体球的平衡条件为竖直方向合力为零，受力包括自身重力、上下介质的浮力、介质分界面产生的静电作用力。已知$\rho_2\ll\rho$，上半球浮力可忽略不计；导体球球心在介质分界面上，静电作用力由上下介质的介电常数差异产生。

导体球体积$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$，重力$G=\rho V g=\dfrac{4}{3}\pi R^3 \rho g$。半球体积$V_1=\dfrac{2}{3}\pi R^3$，浮力$F_b=\rho_1 V_1 g+\rho_2 V_1 g$。 考虑导体球表面的静电压强一方面由自由电荷受的电场力贡献，另一方面 由于介质为流体，介质中的极化电荷所受静电力无法由介质原子/分子骨架提供张力，必须也要由导体球提供支撑。导体内部静电能流密度为0，外部为$w_e=\boldsymbol D\cdot\boldsymbol E/2=\varepsilon E^2/2$，由虚功原理知静电压强大小为$p=w_e$，方向垂直于法向向外。从而总的静电力

正方向竖直向上。根据平衡条件$F_e+F_{\text{浮}}=G$，解得

仅当$\varepsilon_1>\varepsilon_2$时成立。

2. 导体球球心在无限大介质分界面上，可等效为上下两个半球电容器并联， 每个半球对应一种介质，总电容为两个半球电容之和。下半球电容$C_1=2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{r1}R$，上半球电容$C_2=2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{r2}R$，并联总电容：

   $$ C=C_1+C_2=2\pi\varepsilon_0 R(\varepsilon_{r1}+\varepsilon_{r2}) $$

3. 上下介质的漏电电阻为并联关系，耗散时间常数为$RC$电路的时间常数，等于总电阻与总电容的乘积。下半球电阻$R_1=\dfrac{1}{2\pi\sigma_1 R}$，上半球电阻$R_2=\dfrac{1}{2\pi\sigma_2 R}$，并联总电阻：

   $$ R_=\dfrac{1}{2\pi R(\sigma_1+\sigma_2)} $$

   耗散时间常数$\tau=RC$，代入得：

   $$ \tau=\dfrac{\varepsilon_0(\varepsilon_{r1}+\varepsilon_{r2})}{\sigma_1+\sigma_2} $$

Problem NJ 1-一维有限电阻网络

【本题考查电介质和静电能；取自《难题集萃（上册）》电磁学篇的4-16】

(a)

解答如下：采用电流分布法求解。设从 $A$ 端流入电流 $I$，从 $B$ 端流出电流 $I$，若能求出电流在网络中的分布，进而算出 $A,B$ 两端间的电压 $U_{AB}$，即可由

得出 $R_{AB}$。

(a)

如下图，设网络中的电流分布，则对于每一个正方形，其上、下两水平电流之和均为 $I$，故有

由对称性可知

故

于是有

可见，求得 $I_1$ 后即可算出 $U_{AB}$。

取网络中第 $K-1$ 个和第 $K$ 个正方形，建立电压方程：

建立节点电流方程：

由式(1)$\sim$(4)，得

这是关于 $I_K$ 的二阶递推式。

引入常量 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$，使得 $I_K$ 之间有如下递推关系：

即有

与 $I_K$ 的原递推式比较，有

故 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 为方程

的两个根，为

由式(5)、式(6)得出

因对称性，有

代入，得

两式相减，得

由 $\alpha_1 - \alpha_2 = 2\sqrt{3}$，解出

对于第1个正方形，可列出电压方程

即

与式(7)联立，解出

于是有

故 $A,B$ 之间的等效电阻为