This page is the ONELINE MIRROR VERSION of the answer to homework 4 of the course Electromagnetics.A, CourseID PHYS1004.09, 2026 Spring, 5401, USTC. Last update : 2026/6/1; Status: @ editing, updating, final
题目
电磁学.第三版.习题 2.6、2.8-2.11 以及补充作业
2.6
（1）该电容器等效于两个面积为$S=6.0,\text{cm}^2$，间距为$d=0.1,\text{mm}$的平行板电容器的并联
$$ C=2C'=\frac{2\varepsilon_0 S}{d}=106\ \text{(pF)} $$（2）若所加电压为220V，则$\dfrac{\sigma d}{\varepsilon_0}=220$，外箔片上电荷的面密度为
$$ \sigma = \frac{220\varepsilon_0}{d} = 1.95\times10^{-5}\ \text{(C/m}^2\text{)} $$中间箔片的面电荷密度为上述数值两倍且符号相反，即为$-3.90\times10^{-5}\text{ (C/m}^2\text{)}$
2.8
设$C_i$电压为$U_i$（$i\in{1,2,3,4,5}$），电压正方向按从左到右、从上到下规定。若$U_3>0$，表示$C_3$上极板带正电，以此类推。
根据基尔霍夫环路定理（KVL），对电路中三个独立回路列方程：
$$ \begin{cases} U_1+U_3=U_4\\ U_2=U_4+U_5\\ U_4+U_5=U \end{cases} $$回路电压代数和为零，同时相连电容器极板的电量代数和为零，列出节点电荷方程：
$$ \begin{cases} -C_1U_1+C_3U_3+C_4U_4=0\\ -C_4U_4-C_3U_3+C_5U_5=0 \end{cases} $$联立五式并代入数值，解得各电容电压依次为： $240,\text{V},\ 360,\text{V},\ 120,\text{V},\ 360,\text{V},\ 240,\text{V}$。
2.9
该电容由两部分并联组成：内筒与中筒构成$C_1$，中筒与外筒构成$C_2$，总电容
$$ C=C_1+C_2=2\pi\varepsilon_0l \left(\frac{1}{\ln(d/b)}+\frac{1}{\ln(b/a)}\right) $$2.10
饱和水蒸气的分子数密度：
$$ n=\frac{598\times 10^{-3}}{18\times 1.66\times 10^{-27}}=2.0\times 10^{25}\ \text{(m}^{-3}\text{)} $$水分子电偶极矩$p_0=3.2\times10^{-30}\ \text{C}\cdot\text{m}$，水蒸气最大电极化强度：
$$ P_{\text{max}}=np=1.24\times 10^{-4}\ \text{(C}\cdot\text{m}^{-2}\text{)} $$2.11
（1）此处面密度为自由电荷与极化电荷的总和。导体表面场强$E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}<E_{\text{max}}=10^9,\text{V/m}$，可得
$$ \sigma_{\text{max}} = 8.85\times 10^{-3}\ \text{(C}\cdot\text{m}^{-2}\text{)} $$（2）原子直径$a=2\times10^{-10},\text{m}$，单位面积原子数为$\dfrac{1}{a^2}$。表面缺失/多出单个电子的原子数占比：
$$ \frac{\sigma_{\text{max}}/e}{1/a^2}=0.2\% $$补充题(1)
已知 $C_1=300\ \text{pF},\ U_{1c}=50\ \text{V}$；$C_2=200\ \text{pF},\ U_{2c}=100\ \text{V}$。 串联总电容：
$$ C=\frac{1}{\displaystyle \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}=120\ \text{(pF)} $$串联电容电荷量相等，由电压限制条件
$$ \frac{Q}{C_1}<50,\quad \frac{Q}{C_2}<100 $$得最大带电量 $Q_c = 15000\ \text{pF}\cdot\text{V}$，串联后总最大电压：
$$ U_c=\frac{Q_c}{C} = 125\ \text{(V)} $$补充题(2)
系统仅存在极化电荷，面电荷密度：
$$ \sigma_p=P\cos\theta $$该电荷分布在球外产生的电场，等效于球心处电偶极子 $\boldsymbol{p} = \dfrac{4}{3}\pi R^3\boldsymbol{P}$ 的电场，球外任意点场强：
$$ \boldsymbol{E}(r,\theta)= \boldsymbol{e}_r \frac{2R^3 P \cos\theta}{3\varepsilon_0 r^3}+ \boldsymbol{e}_\theta \frac{R^3 P\sin\theta}{3\varepsilon_0 r^3} $$补充题(3)
铜球表面积 $S=4\pi R^2$，单个铜原子体积：
$$ V_0=\frac{M_{\text{mol}}}{\rho N_\text{A}} $$将原子等效为立方体，表面原子数：
$$ N=\frac{S}{V_0^{2/3}} $$表面总电荷量 $Q=Ne=0.385\ \text{C}$，对应的电场与电势：
$$ \boldsymbol{E}=\frac{Q\boldsymbol{e}_r}{4\pi\varepsilon_0 R^2}=3.46\times 10^{11}\boldsymbol{e}_r\ \text{(V/m)} $$$$ U=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}=3.46\times10^{10}\ \text{(V)} $$
补充题(4)
静电平衡时，球壳外电场仅由内部总净电荷决定：
$$ Q=q_1+q_2=6\times10^{-9}\ \text{(C)} $$场点位于球壳外左侧0.2 m处，电场强度：
$$ \boldsymbol{E}=\frac{Q\boldsymbol{e}_r}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=1348\boldsymbol{e}_r\ \text{(V/m)} $$