This page is the ONELINE MIRROR VERSION of the answer to homework 6 of the course Electromagnetics.A, CourseID PHYS1004.09, 2026 Spring, 5401, USTC. Last update : 2026/6/1; Status: @ editing, updating, final
题目
电磁学.第三版.习题 2.22 - 2.27、3.1 - 3.3
习题2.22
采用电像法求解。原电荷$+q(a, b)$共有三个像电荷：
$$-q(-a, b), \quad+q(-a,-b), \quad-q(a,-b)$$区域 $x \geq 0,\ y \geq 0,\ -\infty \leq z \leq \infty$ 内的电势由原电荷与三个像电荷共同产生：
$$ \begin{aligned} U(x, y, z)= & \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+z^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{(x+a)^{2}+(y+b)^{2}+z^{2}}}\right. \\ & \left.-\frac{1}{\sqrt{(x-a)^{2}+(y+b)^{2}+z^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{(x+a)^{2}+(y-b)^{2}+z^{2}}}\right) \end{aligned} $$电场分量：
$$ E_{x}=-\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{x-a}{r_{1}^{3}}+\frac{x+a}{r_{2}^{3}}-\frac{x-a}{r_{3}^{3}}-\frac{x+a}{r_{4}^{3}}\right) $$$$ E_{y}=-\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{y-b}{r_{1}^{3}}+\frac{y+b}{r_{2}^{3}}-\frac{y+b}{r_{3}^{3}}-\frac{y-b}{r_{4}^{3}}\right) $$
$$ E_{z}=-\frac{\partial U}{\partial z}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{z}{r_{1}^{3}}+\frac{z}{r_{2}^{3}}-\frac{z}{r_{3}^{3}}-\frac{z}{r_{4}^{3}}\right) $$
当 $x=0$（竖直导体平面），有 $r_{1}=r_{4},\ r_{2}=r_{3}$，得 $E_{y}=0$； 当 $y=0$（水平导体平面），有 $r_{1}=r_{3},\ r_{2}=r_{4}$，此时：
$$ E_{y}=\frac{q b}{2 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{\left[(x+a)^{2}+b^{2}+z^{2}\right]^{3 / 2}}-\frac{1}{\left[(x-a)^{2}+b^{2}+z^{2}\right]^{3 / 2}}\right) $$水平导体平面的面电荷密度：
$$ \sigma_{e}(x, 0, z)=\varepsilon_{0} E_{y}=-\frac{q b}{2 \pi}\left(\frac{1}{\left[(x-a)^{2}+b^{2}+z^{2}\right]^{3 / 2}}-\frac{1}{\left[(x-a)^{2}+b^{2}+z^{2}\right]^{3 / 2}}\right) $$习题2.23
(1) 由电像法，球外像电荷电量与位置：
$$ q'=-\frac{R}{d} q,\quad b=\frac{R^{2}}{d} $$球内电场为原电荷与像电荷电场叠加：
$$ \boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left( \frac{q}{r_1^2}\boldsymbol{e}_{r1}+\frac{q'}{r_2^2}\boldsymbol{e}_{r2}\right) $$$$ =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left( (r^2+d^2-2rd\cos\theta)^{-1}\boldsymbol{e}_{r1}- \frac{R/d}{r^2+d^2-2rd\cos\theta}\boldsymbol{e}_{r2} \right) $$
电势：
$$ U=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left( (r^2+d^2-2rd\cos\theta)^{-1/2}- \frac{R}{\sqrt{r^2+d^2-2rd\cos\theta}} \right) $$接地导体球壳内表面总带电量为 $-q$，可通过高斯定理，或对表面场强积分面电荷密度证明。
(2) 导体球壳总带电量为 $Q$，额外叠加均匀虚拟面电荷 $Q’=Q+q$。该电荷对球内电场无影响，仅叠加常数电势：
$$ \frac{Q'}{4 \pi \varepsilon_{0} R}=\frac{Q+q}{4 \pi \varepsilon_{0} R} $$球内总电势：
$$ U_2=U_1+\frac{Q+q}{4\pi\varepsilon_0 R} $$习题2.24
金属板置于 $x=0$ 平面，线电荷位于 $(b,0)$，像线电荷位于 $(-b,0)$，线密度 $-\lambda_{e}$。取金属板为电势零点，轴线上电势：
$$ U=-\frac{\lambda_{e}}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln |b-x|+\frac{\lambda_{e}}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln |b+x|=\frac{\lambda_{e}}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \left|\frac{b+x}{b-x}\right| $$导线与金属板电势差：
$$ \Delta U=U(x=b-a)-U(x=0)=\frac{\lambda_{e}}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \left(\frac{2 b-a}{a}\right) \approx \frac{\lambda_{e}}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \left(\frac{2 b}{a}\right) $$单位长度电容：
$$ C=\frac{\lambda_{e}}{\Delta U} = \frac{2 \pi \varepsilon_{0}}{\ln \left(\dfrac{2 b}{a}\right)} $$习题2.25
导体球外点电荷$Q$使球面产生感应电荷，将系统拆分为两组叠加计算：
- 点电荷$Q$与像电荷 $q’=-\dfrac{RQ}{r}$，$r’=\dfrac{R^2}{r}$，此部分球面感应总电荷 $Q_1=q’$；
- 球面均匀带电 $Q_2$，满足 $Q_1+Q_2=Q$。
点电荷所受合力：
$$ F=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q'}{(r-r')^2}+\frac{Q_2}{r^2}\right) $$由 $F=0$ 解得：
$$ \frac{r}{R}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $$
(a) 第2.25题图
习题2.26
仅保留 $R/d$ 首阶近似，两球等效为：各自带均匀电荷 $Q-q’$，球心连线上距球心 $r=R^2/d$ 处存在像电荷 $q’=-\dfrac{RQ}{d}$。
总库仑力由三部分叠加：
$$ F=\frac{(Q-q')^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}+2\frac{Qq'}{4\pi\varepsilon_0(d-r)^2}+\frac{q'^2}{4\pi\varepsilon_0 (d-2r)^2} $$展开并保留最低阶项，得：
$$ F=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}-\frac{Q^2R^3}{\pi\varepsilon_0 d^5} $$习题2.27
镜像法构造无穷多组像电荷，初始电荷：
$$ q_1=4\pi\varepsilon_0 R U_0 $$
(a) 第2.27题图
递推关系：
$$ q_n=-\frac{R}{2R-b_{n-1}}q_{n-1},\quad b_n=\frac{R^2}{2R-b_{n-1}} $$化简得递推式：
$$ \frac{1}{q_n}+\frac{2}{q_{n-1}}+\frac{2}{q_{n-2}}=0 $$解得通项：
$$ q_n=(-1)^{n+1}\frac{q_1}{n} $$球面总电量为无穷级数求和：
$$ Q=\sum_{n=1}^\infty 2q_n=2q_1\ln 2 $$电容：
$$ C=\frac{Q}{U_0}=8\pi\varepsilon_0R \ln 2 $$习题3.1
两质子间库仑力：
$$ F=\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r_{0}^{2}}=\frac{9 \times 10^{9} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{\left(6 \times 10^{-15}\right)^{2}}=6.4\ \text{(N)} $$相互作用能：
$$ W=\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r_{0}}=\frac{9 \times 10^{9} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{6 \times 10^{-15}} \approx 3.84 \times 10^{-14}\ \text{(J)} $$习题3.2
(1) 各对电荷相互作用能：
$$ W_{12}=\frac{q_{1} q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a}=\frac{(-q) \cdot 2 q}{4 \pi \varepsilon_{0} a}=-\frac{q^{2}}{2 \pi \varepsilon_{0} a} $$$$ W_{23}=\frac{q_{2} q_{3}}{4 \pi \varepsilon_{0} a}=\frac{2 q \cdot(-q)}{4 \pi \varepsilon_{0} a}=-\frac{q^{2}}{2 \pi \varepsilon_{0} a} $$
$$ W_{13}=\frac{q_{1} q_{3}}{4 \pi \varepsilon_{0} \cdot 2a}=\frac{(-q) \cdot(-q)}{8 \pi \varepsilon_{0} a}=\frac{q^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} a} $$
(2) 系统总相互作用能：
$$ W=W_{12}+W_{23}+W_{13}=-\frac{7 q^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} a} $$习题3.3
(1) 系统相互作用能公式：
$$ W=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} q_{i} U_{i} $$正电荷处电势：
$$ U_{+}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(-\frac{Q}{a}+\frac{Q}{\sqrt{3} a}-\frac{Q}{2 a}+\frac{Q}{\sqrt{3} a}-\frac{Q}{a}\right)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} a}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{5}{2}\right) $$负电荷处电势 $U_{-}=-U_{+}$，系统共3个正电荷、3个负电荷，总作用能：
$$ W=3 Q U_{+}=\frac{3 Q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{5}{2}\right) $$(2) 移走两个相邻电荷后，剩余系统作用能：
$$ \begin{aligned} W_{1}= & \frac{Q}{8 \pi \varepsilon_{0}}\left(-\frac{Q}{a}+\frac{Q}{\sqrt{3} a}-\frac{Q}{2 a}\right)-\frac{Q}{8 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{Q}{a}+\frac{Q}{a}-\frac{Q}{\sqrt{3} a}\right) \\ & +\frac{Q}{8 \pi \varepsilon_{0}}\left(-\frac{Q}{a}-\frac{Q}{a}+\frac{Q}{\sqrt{3} a}\right)-\frac{Q}{8 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{Q}{a}-\frac{Q}{\sqrt{3} a}+\frac{Q}{2 a}\right) \\ = & \frac{Q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{7}{2}\right) \end{aligned} $$被移走两电荷的相互作用能：
$$ W_{2}=-\frac{Q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a} $$外力做功等于系统能量增量：
$$ A=W_{1}+W_{2}-W=\frac{Q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a}\left(3-\frac{4 \sqrt{3}}{3}\right) $$反馈意见
2.25：部分同学模型梳理不清，电荷间作用关系判断错误，系数计算出错。 3.3：多数同学遗漏被移走两个电荷自身的相互作用能。