Answer to Homework-01 of Electromagnetics.A

This page is the ONELINE MIRROR VERSION of the answer to homework 1 of the course Electromagnetics.A, CourseID PHYS1004.09, 2026 Spring, 5401, USTC. Last update : 2026/5/31; Status: editing, @ updating, final

题目

电磁学.第三版.习题 1.1 - 1.4

1.1

解：(1)设地球上带电$Q_E$,月球带电$Q_M$,地球质量为$m$,太阳质量为$M$，则

$$ \frac{GMm}{r^2}=\frac{Q_EQ_M}{4\pi\varepsilon_0r^2},\quad Q_E+Q_M=Q $$

由基本不等式得

$$ \begin{align*} Q=Q_E+Q_M&\ge2\sqrt{Q_EQ_M}=2\sqrt{4\pi\varepsilon_0GMm}\\ &=2\sqrt{\frac{6.67\times10^{-11}\times5.98\times10^{24}\times7.34\times10^{22}}{9.00\times10^{9}}}\\ &\approx1.14\times10^{14}\ (\text{C}) \end{align*} $$

(2)设$Q_E=kM,\ Q_M=km$，则

$$ Q=k(M+m),\quad \frac{GMm}{r^2}=\frac{k^2Mm}{4\pi\varepsilon_0r^2} $$

得$k=\sqrt{4\pi\varepsilon_0G}$，于是

$$ Q=\sqrt{4\pi\varepsilon_0G}(M+m)=\sqrt{\frac{6.67\times10^{-11}}{9.00\times10^9}}(5.98\times10^{24}+7.34\times10^{22})\approx5.21\times10^{14}\ (\text{C}) $$

1.2

证明：质点速度为$v=\dfrac{2\pi r}{T}$，质点做圆周运动，所以

$$ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0r^2}=\frac{m}{r}\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2 $$

整理得

$$ \frac{r^3}{T^2}=\frac{Qq}{16\pi^3\varepsilon_0m} $$

1.3

解：（1）证：处在O点的粒子受到来自三个顶点的库仑力大小相等，均为$\dfrac{|Q|q}{4\pi\varepsilon_0r^2},\ r=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$，三个力均指向顶点且两两夹角均为$120^\circ$，合力为0。

（2）过O点垂直于三角形所在平面做$x$轴，当粒子处于$x$处，三个电荷对粒子的合力为（与三角形所在平面平行的分量相互抵消）

$$ F=\frac{3Qq}{4\pi\varepsilon_0(r^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}\cdot\frac{x}{\sqrt{r^2+x^2}} $$

当$x\ll r$ 时

$$ F\approx\frac{3Qqx}{4\pi\varepsilon_0r^3} $$

再由牛顿第二定律得

$$ m\frac{d^2 x}{dt^2}-\frac{3qQx}{4\pi\varepsilon_0r^3}=0 $$

这表明粒子在作简谐运动，角频率$\omega=\left(\frac{-3Qq}{4\pi\varepsilon_0mr^3}\right)^{\frac{1}{2}}$。

于是频率

$$ \begin{align*} \nu&=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{-3Qq}{4\pi\varepsilon_0mr^3}\right)^{\frac{1}{2}}\\ &=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{3\times4.8\times10^{-19}\times1.6\times10^{-19}\times8.99\times10^9}{2.3\times10^{-26}\times\left(\frac{3\times10^{-10}}{\sqrt{3}}\right)^3}\right)^{\frac{1}{2}}\\ &\approx2.1\times10^{13}\ (\text{Hz}) \end{align*} $$