This page is the ONELINE MIRROR VERSION of the answer to homework 8 of the course Electromagnetics.A, CourseID PHYS1004.09, 2026 Spring, 5401, USTC. Last update : 2026/6/1; Status: @ editing, updating, final

题目

电磁学.第三版.习题 4.1-4.12

4.1

电流来自电荷之运动。球的电荷密度为

速率为 $v = \omega r$，则电流密度等于

4.2

1. 由题给参数可算得流过铝线横截面的电流密度为

   $$ j = \frac{I}{S} = \frac{5 \times 10^{-4}}{0.1 \times 10^{-6}} = 5 \times 10^3 \, (\text{A}\cdot{m}^{-2}). $$

   铝线中的电子密度为

   $$ n = \frac{2.7 \times 10^3 \times 3}{27 \times 1.66 \times 10^{-27}} = 1.8 \times 10^{29} \, (\text{m}^{-3}). $$

   于是求得电子定向运动的平均速率为

   $$ \overline{u} = \frac{j}{ne} = \frac{5 \times 10^3}{1.6 \times 10^{-19} \times 1.8 \times 10^{29}} = 1.7 \times 10^{-7} \, (\text{m}\cdot{s}^{-1}). $$

2. 电子热运动的方均根速率为

   $$ \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m_e}} = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}{9.11 \times 10^{-31}}} = 1.17 \times 10^5 \, (\text{m}\cdot{s}^{-1}). $$

3. 一个电子两次碰撞之间的时间

   $$ \tau= \frac{2m_e\sigma}{ne^2}= \frac{2\times9.11\times10^{-31}}{1.8\times10^{29}\times(1.6\times10^{-19})^2\times2.8\times10^{-8}}= 1.4\times10^{-14} (\text{s}) $$

4. 电子的平均自由程

   $$ \overline{\lambda}=\tau\overline v = \tau\sqrt{8kT/\pi m_e}{} = 2.67\times10^{-9}(\text{m}) $$

   使用方均根速率计算的答案也给分。

5. 电场强度的大小

   $$ E = \frac{j}{\sigma} = 2.8 \times 10^{-8} \times 5 \times 10^3 = 1.4 \times 10^{-4} \, (\text{V}\cdot{m}^{-1}). $$

4.3

设 $x$ 处的截面面积为 $S$，则长为 $\mathrm{d}x$ 段的电阻为

整段导线的电阻为

设 $x$ 处横截面的半径为 $r$，则由圆台的关系得

相应截面面积等于 $S = \pi r^2$，求得整段导线的电阻等于

4.4

采用支路电流法。标定总电流 $I$ 和支路电流 $I_1$ 和 $I_2$ 的正向方向，由节点电流方程可算得未标定支路的电流：流经 $R_3$ 的电流为 $I-I_1$，流经 $R_2$ 的电流为 $I_1-I_2$，流经 $R_4$ 的电流为 $I-I_1+I_2$。然后，就左、右两个回路列出回路电压方程如下：

经整理之后求得关于 $I_1$ 和 $I_2$ 的两个方程：

从中解得

利用上述结果，可算得 $a$、$b$ 端之间的电势差和等效电阻：

4.5

设在内外球之间加一电压（内球电势高），则有电流通过内球流到外球。设此时内球带电量为 $Q$，由对称性可知，电场强度和电流密度均沿径向方向，其数值仅与径向距离 $r$ 有关。由高斯定理得电场强度

由欧姆定律得电流密度

从中求得总电流强度

于是，可相继求得电场、内外球壳之间的电势差和等效电阻：

4.6

根据电阻网络上下对称性，每个竖直排列的三个节点中，上下两个节点等电位。 故整个系统相对于把每组上下节点短接，整个电阻网络形成如图(a)所示的一维无限电阻网。下面先考虑图(b)中的单向无线电阻网：设$NQ$之间的等效电阻为$xr$。 注意到，$xr$代表单向无线电阻网的等效值，因此若把$MN,NQ,QP$三段电阻去掉，余下电阻网络仍为单向无限长的，因而此时MP间等效阻值的$R_{MP}=xr$。

(a) 第4.6题图

由此，$NQ$之间的电阻同时等效为图(c)的有限大电阻电路，有等效关系

解出$x=(\sqrt{21}-3)/4$。这时，$AB$间的总电阻可以用图(d)的电路等效，

4.7

如题图所示，下方的电话线某处触地，该处离甲站距离为$x$ km，相应电话线的电阻为 $R_1 = 6x\Omega$；离乙站距离为$(50-x)$km，相应电话线的电阻为 $R_2=6(50-x)\Omega$。此外，上方的电话线正常，两站之间电话线的电阻等于$R_3 = 300\Omega$。在乙站将两电话线短路之后，电桥被接通：电阻$R_1$与可调电阻$r$串联，构成电桥电路的左下臂，电阻$R_2$则与$R_3$串联构成电桥电路的左上臂。电桥的另外两臂之电阻同为 $R$，以至电桥平衡（即检流计G指零）的条件为左下臂电阻等于左上臂电阻，即

算出$x=20$km。

4.8

1. 以轴线为轴、$r$ 为半径，在硫酸铜溶液中取一个厚为 $\mathrm{d}r$、长为 $l$ 的圆筒，这圆筒的电阻为

   $$ \mathrm{d} R = \rho \frac{\mathrm{d} r}{2\pi r l} = \frac{\rho}{2\pi l} \frac{\mathrm{d} r}{r}. $$

   积分便得电池内阻

   $$ R = \frac{\rho}{2\pi l} \int_a^b \frac{\mathrm{d} r}{r} = \frac{\rho}{2\pi l} \ln\frac{b}{a}. $$

2. 设两筒的电势差为 $U$，内筒上的电量为 $Q$。取圆柱坐标 $(r,\phi,z)$，则由对称性可知电场强度沿 $\boldsymbol{r}$ 方向，大小仅与 $r$ 有关。于是，由高斯定理得硫酸铜溶液中的电场强度

   $$ E = \frac{Q}{2\pi\varepsilon l r}, $$

   据此求得两筒之间的电势差和电池的电容为

   $$ U = \int_a^b E \cdot \mathrm{d} r = \frac{Q}{2\pi\varepsilon l} \int_a^b \frac{\mathrm{d} r}{r} = \frac{Q}{2\pi\varepsilon l} \ln\left( \frac{b}{a} \right) \Rightarrow C = \frac{Q}{U} = \frac{2\pi\varepsilon l}{\ln(b/a)}. $$

3. 由前述内阻 $R$ 和电容 $C$ 的公式，推得它们之间的关系为 $RC = \varepsilon\rho$。

4.9

如下图所示，标定各支路电流 $I_1$、$I_2$ 和 $I_3$，并用弧形箭头标出两个回路的方向。由节点电流方程得3个支路电流满足的关系如下

针对标出的两个回路，列出回路电压方程如下：

从上述3个方程中消去 $I_3$，并将题给出的电源电动势和电阻数值代入，得 $I_1$ 和 $I_2$ 满足的方程如下：

(a) 第4.9题图

解得 $I_1 = -2/7 , \text{A}$，$I_2 = 8/7 , \text{A}$。于是，求得流经 $R_2$ 的电流为 $I_2 = 8/7 , \text{A}$，$R_4$ 上的电压为

4.10

如下图所示，标定支路电流 $I_1$、$I_2$ 和 $I_3$，并用弧形箭头标出两个回路的绕行方向。由节点电流方程得三者之间的关系如下：

(a) 第4.10题图

对于左、右侧回路，可列出回路电压方程如下：

将题给出的电动势和电阻数值代入得

联立求解节点电流方程和回路电压方程，可得 $I_1 = 1.58 , \text{A}$，继而求得

4.11

1. $a$、$b$ 断开时，回路电流为

   $$ I = \frac{\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_3}{R_1+R_3+R_4+R_5+r_1+r_3} = \frac{12-8}{2+2+2+2+1+1} = 0.4 \, \text{A}. $$

   $a$、$b$ 间的电势差为

   $$ U_{ab} = U_a - U_b = I(R_3+R_4+r_3) + \mathcal{E}_3 - \mathcal{E}_2 = 0.4(2+2+1)+8-10 = 0 \, \text{V}, $$

   即 $a$、$b$ 两点等电势。

2. $a$、$b$ 接通后，由于两点等电势，故与断开是一样的，即没有电流。因此，流经 $R_1$ 中的电流仍为0.4A。

4.12

如下图所示，标定支路电流 $I_1$、$I_2$ 和 $I_3$，并用弧形箭头标出三个回路的绕行方向。由回路①的回路电压方程，可求得支路电流

由回路2的回路电压方程，可求得支路电流

由回路3的回路电压方程，可求得支路电流

(a) 第4.12题图

补充题

这道题其实是想让你使用稳恒电流的条件$\oint_S\boldsymbol{h}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}=0$以及$j=\sigma E$，然后将进出导体的两个电流类比正负电荷，得出具体的电场分布，再利用电场求出cd电势差。 对于进入导体的电流一端

得

同理对于出导体的一端

进而得到电势表达式

又因为

得到