This page is the ONELINE MIRROR VERSION of the answer to homework 11 of the course Electromagnetics.A, CourseID PHYS1004.09, 2026 Spring, 5401, USTC. Last update : 2026/6/1; Status: @ editing, updating, final
题目
电磁学.第三版.习题 5.1-5.9
5.1
由动能公式
$$ \frac{m_p v_p^2}{2}=5.0\times10^6\times1.6\times10^{-19} $$解得质子速度
$$ v_p=3.1\times10^7\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1} $$根据洛伦兹力公式计算受力：
$$ F=qvB=1.6\times10^{-19}\times3.1\times10^7\times1.5\approx7.4\times10^{-12}\,\text{N} $$本题采用非相对论近似。质子动能远小于其静能（$\approx940,\text{MeV}$），该近似成立。
5.2
有限长直导线电流 $I$，距导线垂直距离为 $r$ 处的磁感应强度：
$$ B=\frac{\mu_0 I}{4\pi r}\left(\cos\beta_2-\cos\beta_1\right) $$$\beta_1$、$\beta_2$ 分别为场点指向电流入、出端连线与电流方向的夹角；无限长直导线取 $\beta_1=\pi,\ \beta_2=0$，得
$$ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} $$(1) 正方形中心磁感应强度 单条边到场中心垂直距离 $r=\dfrac{a}{2}$，$\beta_1=\dfrac{3\pi}{4},\ \beta_2=\dfrac{\pi}{4}$，单条边产生磁场：
$$ B=\frac{\mu_0 I}{4\pi(a/2)}\left[\cos\frac{\pi}{4}-\cos\frac{3\pi}{4}\right]=\frac{\sqrt{2}\mu_0 I}{2\pi a} $$四条边磁场同向叠加，合场强：
$$ B=\frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi a} $$(2) 正方形轴线上距中心 $z$ 处磁感应强度 单条边到场点距离 $\sqrt{z^2+(a/2)^2}$，且
$$ \cos\beta_1=-\frac{a/2}{\sqrt{z^2+a^2/2}},\quad \cos\beta_2=\frac{a/2}{\sqrt{z^2+a^2/2}} $$单条边贡献：
$$ B=\frac{\mu_0 I a}{\pi\sqrt{4z^2+a^2}\sqrt{4z^2+2a^2}} $$垂直轴线分量抵消，轴向分量叠加，总磁感应强度：
$$ B=\frac{4\mu_0 I a^2}{\pi\left(4z^2+a^2\right)\sqrt{4z^2+2a^2}} $$5.3
导线首尾两段延长线过场点 $P$，对磁场无贡献，仅中段产生磁场，方向垂直纸面向内。 由有限长直导线磁场公式：
$$ B=\frac{\mu_0 I}{4\pi b}\left(\cos\beta_2-\cos\beta_1\right)=\frac{\mu_0 I}{4\pi b}\left(\frac{l-a}{\sqrt{b^2+(l-a)^2}}+\frac{a}{\sqrt{b^2+a^2}}\right) $$5.4
单圆环电流中心磁场：$\displaystyle B=\frac{\mu_0 I}{2r}$，半圆环贡献为其一半。 两个同心半圆环磁场反向叠加：
$$ B=\frac{1}{2}\frac{\mu_0 I}{2R}-\frac{1}{2}\frac{\mu_0 I}{2(2R)}=\frac{\mu_0 I}{8R} $$方向垂直纸面向内。
5.5
(1) 单圆环轴线上磁场：$\displaystyle B=\frac{\mu_0 I R^2}{2\left(R^2+d^2\right)^{\frac{3}{2}}}$。 两圆环叠加，$P$ 点磁感应强度：
$$ B(x)=\frac{\mu_0 I R^2}{2\left[R^2+(x+a/2)^2\right]^{3/2}}+\frac{\mu_0 I R^2}{2\left[R^2+(x-a/2)^2\right]^{3/2}} $$方向沿轴线向右。
(2) 一阶导数
$$ \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}x}=\frac{3\mu_0 I R^2}{2}\left(-\frac{a/2+x}{\left[R^2+(a/2+x)^2\right]^{5/2}}+\frac{a/2-x}{\left[R^2+(a/2-x)^2\right]^{5/2}}\right) $$$$ \left.\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0}=0 $$
令 $x=0$ 处二阶导数为零，化简得：
$$ \frac{2\left(-R^2-a^2/4\right)+10a^2/4}{\left[R^2+a^2/4\right]^{7/2}}=0\implies a=R $$5.6
磁偶极子远场沿极轴方向磁感应强度：
$$ B=\frac{\mu_0 m}{2\pi R^3} $$解得地磁矩：
$$ m=\frac{2\pi R^3 B}{\mu_0}=\frac{2\pi\times\left(6\times10^6\right)^3\times8\times10^{-5}}{4\pi\times10^{-7}}=8.64\times10^{22}\,\text{A}\cdot\text{m}^2 $$5.7
有限长螺线管轴线上磁场：
$$ B=\frac{\mu_0 n I}{2}\left(\cos\beta_2-\cos\beta_1\right) $$已知 $n=2\times10^4\ \text{匝/米}$，直径 $d=4l$。
(1) 螺线管中心处
$$ \cos\beta_2=\frac{1}{\sqrt{17}},\quad \cos\beta_1=-\frac{1}{\sqrt{17}} $$$$ B=\mu_0 n I\cos\beta_2=4\pi\times10^{-7}\times2\times10^4\times0.1\times\frac{1}{\sqrt{17}}\approx6.1\times10^{-4}\,\text{T} $$
(2) 螺线管一端中心处
$$ \cos\beta_1=0,\quad \cos\beta_2=\frac{1}{\sqrt{5}} $$$$ B=\frac{\mu_0 n I}{2\sqrt{5}}\approx5.6\times10^{-4}\,\text{T} $$
5.8
面电流密度 $\displaystyle i=\frac{I}{2a}$，取电流元 $i\mathrm{d}y$，其磁场 $y$ 分量：
$$ \mathrm{d}B_y=\frac{\mu_0 i x\mathrm{d}y}{2\pi\left(x^2+y^2\right)} $$积分求得总磁场：
$$ B=\frac{\mu_0 i x}{2\pi}\int_{-a}^{a}\frac{\mathrm{d}y}{y^2+x^2}=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}\arctan\left(\frac{a}{x}\right) $$方向沿 $y$ 轴正向。
5.9
球面上环带电荷量：
$$ \mathrm{d}q = \frac{q}{2}\sin\theta\mathrm{d}\theta $$旋转形成的电流：
$$ \mathrm{d}I = \frac{q\omega}{4\pi}\sin\theta\mathrm{d}\theta $$单环带在转轴上 $z$ 处产生磁感应强度：
$$ \mathrm{d}B = \frac{\mu_0 \mathrm{d}I R^2\sin^2\theta}{2\left(R^2+z^2-2Rz\cos\theta\right)^{\frac{3}{2}}} $$总场强积分：
$$ B = \frac{\mu_0 q\omega R^2}{8\pi}\int_0^\pi \frac{\sin^3\theta\mathrm{d}\theta}{\left(R^2+z^2-2Rz\cos\theta\right)^{\frac{3}{2}}} $$- 球内点 $(z<R)$： $$ B = \frac{\mu_0 q\omega}{6\pi R} $$
- 球外点 $(z>R)$： $$ B = \frac{\mu_0 q\omega R^2}{6\pi z^3} $$
环带磁矩 $\displaystyle \mathrm{d}m = \mathrm{d}I \cdot \pi (R\sin\theta)^2$，总磁矩：
$$ m = \int_0^\pi \frac{q\omega}{4\pi}\sin\theta\mathrm{d}\theta \cdot \pi R^2\sin^2\theta = \frac{1}{3}q\omega R^2 $$