This page is the ONELINE MIRROR VERSION of the 1st part of Notes of Electromagnetics.A, CourseID PHYS1004.09, 2026 Spring, 5401, USTC. Last update : 20267/7/19; Status: @ editing, updating, final

静电场-NOTE

电荷守恒

电荷

电荷的具体定义并不存在， 但是不影响对电荷性质（电性，电量，激发场，收洛伦兹力作用）的精确把握和使用。

电荷若干性质

自然界中存在正、负两种电荷，实验表明同号电荷相斥，异号电荷相吸

电荷是量子化的，任何电量都是$e$的整数倍

对称性（反粒子的存在性）

相对论不变性：电量是相对论不变量

电荷守恒：一个孤立系统（与外界不发生电荷交换的系统）的电荷总量（代数和）是保持不变的，它既不能创生，也不会消灭。

关于思考题1.2

数学上，有如下8种二元关系：设$R$是集合$A$上的二元关系，$x, y,z \in A$

1. 自反性：对$\forall x \in A,xRx$成立；举例$\leq,\geq,=$
2. 反自反性：对$\forall x \in A,xRx$不成立；举例$> , < , \neq$
3. 对称性：若$xRy$，则$yRx$；举例$=$、同余、垂直
4. 反对称性：若$xRy$且$yRx$，则$x=y$；举例$\leq,\geq,\subset$
5. 传递性：若$xRy$且$yRz$，则$xRz$；举例$\leq,\geq,> , <,=$，整除，同余
6. 反传递：若$xRy$且$yRz$，则必有$xRz$不成立；举例垂直
7. 等价：自反 + 对称 + 传递，举例$=$，同余，全等相似，平行
8. 偏序：自反 + 反对称 + 传递，举例$\leq,\geq,\subset$，整除
9. 全序/线序：偏序 + 任意两元素可比较，举例实数集上的$\leq$
10. 严格偏序：反自反 + 反对称 + 传递，举例$> , <,\subsetneq$

电性相反的关系满足对称性，无自反性和传递性。 同性相吸，异性相斥，本质改变了电性的二元关系。

库仑定律

库仑定律 两个静止的点电荷$q_0$和$q_1$之间的作用力大小为$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0 q_1}{r^2}$，方向沿着两点电荷连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。若点电荷$q_0$指向$q_1$的矢量为$\boldsymbol r$则$q_0$对$q_1$的力为

库仑定律的讨论：点模型；静止条件；平方反比的精确性与光子（库仑力传递中介）质量精确为零直接相关，与万有引力的异同。

叠加原理

叠加原理 两个静止点电荷之间的相互作用力不因第三个静止点电荷的存在而改变。

推论 静止点电荷系统中，每个点电荷受的静电力为其与其它点电荷库仑力的矢量和。

从离散点电荷到连续带点体系

宏观尺度上，带电体的净电量由其上的一部分数量可观的粒子携带， 粒子之间的间距远小于宏观尺度。 因此，可以认为带电体有连续电荷分布，而不会产生任何可观测的误差。

重点，理解宏观小微观大的概念，理解库仑力的离散求和形式到连续积分形式推导

可得带电面和带电线对点电荷$q_0$的作用力分别为

电场强度

电场强度 试探电荷是指：受到外部带点体系静电力作用，但是自身电量的存在不改变外部带电系统电荷分布的点电荷， 物理上一般是带电量极小的点电荷。 试探电荷$q_t$在静电场中的受力$\boldsymbol F$与电荷量之比定义为电场强度：

电场强度$\boldsymbol E$的性质

1. 矢量场
2. 电场强度与试探电荷无关，仅与施力物体（激发电场的带点体系）有关
3. 电场是物理实在，可以携带能动量、角动量等（例如电场可以与物体相互作用）
4. 与超距观点的不同：电荷激发场，场再对电荷作用

点电荷系统激发电场的计算式

当然，“电荷体密度-体积分”也可换为“电荷面密度-面积分”等等。

若干典型带点体系的电场

例 均匀带电圆环轴上电场强度$\boldsymbol E = \frac{\lambda_eRz }{2\varepsilon_0(R^2+z^2)}\boldsymbol e_z$

例 均匀带电圆盘轴上电场强度 $\boldsymbol E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left( 1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}} \right)\boldsymbol e_z,\ z>0$

电场线 电场线是用来形象描述电场的，虚构的空间中的一簇曲线。 电场线每处的切向表示电场在此处的方向，电场线疏密代表电场强度大小。 电场线从正电荷或无穷远射向负电荷或无穷远，两两永不相交，中途不间断。 静电场电场线首尾不相连，不可能成环。

高斯定理

通量 任意矢量场$\boldsymbol A$曲面有向微元$\Delta \boldsymbol S$的通量定义为微面元处场向量与面法向量的内积

对于任意曲面，其电通量由如下积分定义

通量具有叠加性，即多个矢量场总场对同一曲面产生的电通量等于每个场单独产生的通量代数和。 必须指出，上述积分是第二类曲面积分，被积函数和积分元均有矢量性。 多元微积分知识告诉我们当第二类曲面积分在闭合曲面上时可以采用Gauss定理。

高斯定理 通过任意一个闭合曲面的$S$的电通量，等于该闭合曲面内所包围的总电荷$q$除以真空介电常数$\varepsilon_0$.

微分形式：

其中$\rho$为电荷密度

注意：

1. 静电场是有源场，电荷是它的源。
2. 式中$\boldsymbol E$是$S$面上的电场，$\boldsymbol E$由全空间电荷分布决定，但电通量仅与内部总电荷有关。
3. $d\boldsymbol S$的方向规定为外法线方向。
4. 物理的高斯定理核心是给出电场散度与电荷密度的关系，而不仅是给出第二类曲面积分的变换方法

推论 对一个点电荷的电场，所取的曲面包含点电荷时，曲面对电荷所张的立体角为$4\pi$，曲面不包含电荷时，曲面对电荷所张的立体角为0。

积分形式的高斯定理重要意义在于其交代了通量（面积分）与面内总电量（体积分）的关系， 并且与电荷分布无关，这有利于我们在特别是高对称性情况中通过电荷简单地推算电荷量，或反之。

高斯定理与库仑定律的关系*

高斯定理适用性比库仑定律更强（不限于静场），它是Maxwell方程组之一； 高斯定理严格依赖于库仑力的平方反比性。

例 电场线从正电荷$+q_1$出发，与正点电荷及负点电荷的连线成$\alpha$角， 则该电场线进入负点电荷$-q_2$的角度$\beta$，则满足关系

(a)

证明 我们把与正点电荷及负点电荷的连线成$\alpha$角的所有电场线取出来做成 电场线管，则没有电场线从“管道”侧面进出，管道处处电通量相同。 因此，在正电荷附近与负电荷附近，电场线管的电通量是相同的。 同时，很靠近点电荷的位置上电场强度大小近似相同。 以点电荷$+q_1$与$-q_2$为中心，取一半径$r$很小的球面，可视为其上电场线均匀分布， 穿出顶角$2\alpha$所对的球冠面的电场线应完全穿入顶角$2\beta$角所对的球冠面， 两面上电通量相等：

以上推导已经用到了顶角$2\theta$所对的球冠面的立体角为$2\pi(1-\cos \theta)$。

环路定理

静电场环路定理 静电场环路定理：静电场的环量恒等于零，即对任意闭合回路$L$有

这个定理的物理含义是，静电场对带电粒子沿闭合回路运动一周做功为0； 或者说，电场对带电粒子沿某条路径$l$运动的总功仅与$l$的始末位置有关， 与$l$在始末位置之间如何变化无关！

矢量场沿着闭合回路积分描述了矢量场的“有旋性”，静电场环路定理说明静电场是无旋的。 注意：

1. 电场的无旋性是因为点电荷电场无角向分量，而不是因为平方反比；
2. 根据叠加定理，带点系统的总静电场也是无旋的；
3. 环路定理保证静电场的电场线不可能是闭合曲线；
4. 如其名，静电场环路定理对含时电场失效。

电势

电势 定义电势为

这个定义表明： 电势是不唯一的，它与积分起点有关； 积分起点给定后，空间各点电势唯一， 积分结果和连接积分起点$O$与终点$A$的积分路径无关。

值得指出：

1. 在实际问题中，常取无穷远、大地或电器外壳的电势为零;
2. 电荷量无限大的带点体系只是近似模型，实际不存在；如要使用需取有限远的某点为电势零点；

任意带点体系的电势计算式

电势与电场的关系

电场是电势的梯度，也即标量场$\varphi$在某点变化最快的方向和变化率

根据上式，等势面与电场线处处垂直，垂直于等势面的方向正是电势变化最快都方向，也即电场方向。 由于电势是标量场并且积分（一般）易于电场，我们经常会先算出带点体系的电势， 再通过梯度运算求出电场。

经典案例

例 偶极子$\boldsymbol p$的电势为$\varphi(\boldsymbol r)=\frac{\boldsymbol p\cdot\boldsymbol r}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$，电场

散度

散度的极限定义 设有矢量场$\boldsymbol A$，在场中任一点$P$处作一个包含$P$点在内的任一闭合曲面$S$，$S$所限定的体积为$\Delta V$，当体积$\Delta V$以任意方式趋近于$P$点时，如果下列极限存在

则称此极限为场在$P$点处的散度。

根据上述定义，数学上可以演算出散度在三维直角坐标系中可以由下面的方法算出

$A_x$等是指矢量场在$x$方向的分量。$\nabla=\boldsymbol e_x\frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol e_y\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol e_z\frac{\partial}{\partial z}$ 称为Nabla算符，它是兼具矢量性与微分性的算符，具体体现为它与物理量作用时既要遵从 积分乘积（内积、外积、并矢等）的规则，也要遵从微分（不可交换、链式法则等）的规则。 散度计算中，Nabla与矢量场内积，就要先把$\nabla$和$\boldsymbol A$各分量相乘，再加和，同时 所谓“相乘”操作是场分量收求导算符作用。

旋度

Stokes定理

（这里$l=\partial S$的含义是$l$是简单非闭合曲面$S$的边缘所代表的闭合曲线。）

导体电介质-NOTE

物质的电性质

按照电荷在物质中移动的难易程度，物质分为导体和电介质。

静电场中的导体

导体静电平衡条件 对于不存在非静电力的均匀、各向同性导体，达到静电平衡的条件是导体内部电场强度处处为零。

推论 处在静电平衡条件下导体，导体体内电场为零，电荷为零，导体表面为等势面。

例 球极坐标中的薄导体球面面电荷密度为$\sigma=\sigma_0\cos\theta$， 则球面内为匀强电场$\boldsymbol E=-\dfrac{\sigma_0}{3\varepsilon_0}\boldsymbol e_z$，方向从极角0指向极角$\pi$。

电容

孤立导体电容 一个电量为$Q$的孤立导体，电势为$U$（无穷远处为电势零点）， 则电容$C=Q/U$，代表使导体每升高单位电势所需的电量， 反映导体容纳电荷的能力。

电容器

电容器由带有等量异号电荷、很靠近的两个导体A, B构成， 电容值定义为$C=\dfrac{Q}{|U_A - U_B|}$

计算电容器电容值的一般方法： 先假设电容器的两极板带等量异号电荷， 求出极板之间的电场强度， 求出极板之间的电势差，即可求出电容。

电介质

电介质极化

电介质在外电场作用下，其表面甚至内部出现极化电荷的现象， 称为电介质的极化，外电场与极化电荷激发的电场共同组成总场

极化的微观机理是极性分子的取向极化或者中性分子的位移极化。

说明

• 介质极化过程中束缚电荷无宏观移动，更不能转移到其它带电体，只有微观变化（对比：静电感应时导体中的自由电荷有宏观移动）
• 极化电荷永远被束缚在产生它的分子/原子上，只要电介质不移动，极化电荷也不能自由运动，只能随极化程度增减；例如把极化电荷通过导线导出来是不可能的

极化强度

极化强度 极化强度是单位体积内分子电偶极矩的矢量和为极化强度矢量

理解这个公式需要把握“宏观小微观大”的观点， 即$\Delta V$相对于我们考察的体系是充分小， 而$\Delta V$包含充分多的分子以至于这样取平均的极限是存在的。

极化电荷分布

考察一块体积$V$（这里可以是宏观大的），分析极化电荷相对于体积边界$S=\partial V$的位置。 整个极化出来的电偶极子都在$V$内，对$V$的净极化电荷量没有贡献（正负抵消）；整个极化出来的电偶极子都在$V$外，对$V$的净极化电荷量没有贡献（完全无关）；因此只有电偶极子恰好穿过$S$的有贡献。

设电偶极矩为$\boldsymbol p_i$的分子数密度为$n_i$，在$\mathrm{d} S$上贡献极化电荷

$d \boldsymbol S$上总极化电荷

极化电荷量微元对$S$积分即得体积内总极化电荷

刚刚的分析是基于宏观大的体积块。根据数学高斯定理，上式微分形式即给出极化电荷体密度

使用类似的微元分析法可以得到在电介质分界面上有极化电荷面密度

(a)

例 均匀极化的电介质球，半径为$R$，极化强度矢量$\boldsymbol P$，球表面上极化电荷分布为$P\cos\theta$，这样的极化电荷在介质球内会激发出匀强的极化电场$\boldsymbol E’=-\boldsymbol P/(3\varepsilon_0)$

电介质结构方程 —— 场与极化强度的关系

总电场（注意不是仅极化电场或外电场）与极化强度都是矢量， 之间的一阶关系可一般地用电极化率张量$\boldsymbol \chi_e$描述为

对于各向同性均匀介质，二阶张量退化为标量

【书上第55页的东西估计不会考，不用记】

电介质中静电场的基本定理

根据

可得自由电荷密度满足

电位移矢量 定义矢量场$\boldsymbol D$

这个场称为电位移场。对于各向同性均匀电介质，定义$\varepsilon_r=1+\chi_e$，那么

推论 电位移矢量与自由电荷的关系为$\rho_{e0}=\nabla\cdot \boldsymbol D$

推论 各向同性均匀电介质体内无自由电荷处必无极化电荷。 若介质内某$\boldsymbol r$有自由点电荷，那么极化电荷会存在于$\boldsymbol r$周围极小的一周，而$\boldsymbol r$以外、电介质以内其它位置仍没有极化电荷。

利用电位移矢量解题的一般方法

1. 分析自由电荷分布
2. 计算各处电位移矢量场
3. 根据式(1)和介质结构性方程计算电场或极化强度
4. 根据极化强度可算极化电荷；根据电场可算总电荷

边值关系和唯一性定理

推论 静电场中，极化电荷激发电场也服从环路定理，因此仍有$\nabla\times \boldsymbol E=0$

边值关系

静电场边值关系 设介质1, 2某处分界面法向为$\boldsymbol n$，从1指向2。则 静电场中：电场强度在边界上切向分量连续$(\boldsymbol E_1-\boldsymbol E_2)\times\boldsymbol n=0$；电位移矢量在边界上法向分量与边界上自由电荷面密度满足$(\boldsymbol D_2-\boldsymbol D_1)\cdot\boldsymbol n=\sigma_{e0}$；电势在边界上连续。

一般边界上没有自由电荷，因此电位移法向分量一般连续。 以上是最常用的几条边值关系，当然根据电位移-电场的关系，可以导出 另外的边值关系，只是没那么好用。

唯一性定理 给定电场空间边界面$S$（可以是有限闭合曲面，也可以趋向无穷远）上的电势$U_S$、$S$内的导体和介质分布（介电常数确知），并给定下列两条件之一：（1）每个导体电势$U_i$已知；（2）每个导体上总电量$q_i$，那么$S$内满足高斯、环路定理的静电场解是唯一的。

该定理表明：边界条件确定，则静电场唯一确定。 实际上，数学上最宽松的唯一性定理描述如下（也许不太严谨，能领会大意即可）：

唯一性定理（数学） 设区域$\Omega$为有界区域，边界为$\partial \Omega=S$，考虑泊松方程

其中$\varepsilon$为已知连续（分片光滑）介电常数，$\rho$为已知电荷密度。 设边界$S$的一个划分为$S_D, S_N, S_R$， 在$S_D$上满足$u(\boldsymbol r)=f(\boldsymbol r)$， 在$S_N$上满足$\varepsilon \dfrac{\partial u}{\partial n}(\boldsymbol r)=g(\boldsymbol r)$， 在$S_R$上满足$u(\boldsymbol r)+\alpha \varepsilon \dfrac{\partial u}{\partial n}(\boldsymbol r)=h(\boldsymbol r)$， 且满足$S_D$非空或者$S_R$非空且$\alpha>0$（为了避免$u$有任意常数项），那么： 泊松方程在$\Omega$内解唯一。

物理上的唯一性定理的边界条件正对应上述三种边界，即Dirichlet 条件和（积分型） Neumann 条件。

例 一个半径为$R$的均匀介质球，相对介电常量为$\varepsilon_r$，放置在均匀外电场$E_0$中。则球均匀极化（之前的例子讲过），并且与退极化场$\boldsymbol E’$关系为：

两类电介质静电学题目

介质界面与电场线重合的情况 注意，我们限于讨论带电体为导体的情况，这时导体表面就是等势面，电场线与导体表面垂直。分析思路：

1. 由于介面与场平行，因而极化强度在介质界面上没有法向分量；
2. 因此，极化面电荷只可能存在于介质与导体的边界面上；
3. 导体总是要保证内电场为零，据此我们“猜测”介质和导体边界上的总电荷面密度的分布形式维持不变；
4. 总电荷面密度分布不变，并不意味着总电量正好等于导体所带的自由电荷量，前者可以是后者的$\alpha$倍；
5. 这样一来，有介质存在时的电场可表示为无介质时电场$\alpha$倍；

这种题目解题步骤就是：计算完全没有（各种所有）介质时的电场分布$E_0$； 设有介质是电场为$E=\alpha E_0$；根据电介质高斯定理和电介质结构方程，即可搭建起电荷与电势的关系；题目给出电势（本质即给出电场），就可算电荷分布 —— 反之亦然。

介质界面与等势面重合的情况 分析思路：

1. 有介质时的电位移场与无任何介质情况下的电场，满足同一方程（高斯与环路，只是差了系数$\varepsilon_0$）；
2. 这就说明$\boldsymbol D=\varepsilon_0\boldsymbol E_0$；

这种题目解题步骤就是：计算完全没有（各种所有）介质时的电场分布$E_0$； 有介质系统的电位移场即$\boldsymbol D=\varepsilon_0\boldsymbol E_0$； 再根据电介质结构方程，即可搭建起电荷与电势的关系。

电像法

关于电像法使用的几点提示：

• 分清楚物理空间与非物理空间，原有电荷与欲分析电场的空间是物理空间；例如导体球外放置电荷，考察球外电场，则球外为物理空间，球内为非物理空间；
• 像电荷只能存在于非物理空间；
• 像电荷只是用来与原电荷一起，产生与原系统相同的电场，目的是辅助计算；像电荷不直接给出任何带电量性质，必须从得到的场入手，使用Gauss定理反推真实的电荷分布；

静电能-NOTE

真空中的静电能

真空中点电荷的静电能（相互作用能）

根据静电能与做功的关系，将两个相聚无穷远的点电荷$q_1,q_2$移动到相对位置为$\boldsymbol r$， 外力克服静电力做功（不妨设$q_1$不动只移动$q_2$）为

其中$-\boldsymbol F_e$就是外力矢量，因为要克服库仑力所以是库仑力的负数。计算得$A=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r}$，这就是真空中点电荷的相互作用能 的计算式。 根据电场的叠加原理可知，若有$N$个点电荷$q_1$到$q_N$，整个系统的静电能为

这里之所以是八分之一，是因为对指标$i,j$的遍历虽然避免了$i=j$却没有避免$i\neq j$时互换导致同一对点电荷计入求和两次的情况。 点电荷系统的静电能就是两两一组计算它们之间的静电能，再全部加起来。纯点电荷构成的系统的静电能就是相互作用能。

真空连续电荷分布的静电能

点电荷系统的静电能计算公式有另一种理解方法：

其中$U_i$指的是，除了$q_i$以外所有其他点电荷在$q_i$所在位置$\boldsymbol r_i$激发的电势。

从这一理解出发，一个连续带电体组成的系统的静电能可以写为

$U_1(\boldsymbol r)$表示除$\rho_e(\boldsymbol r)\mathrm{d} V$ 外的其余电荷在$\boldsymbol r$处产生的电势。 实际上由于$\mathrm{d} V$随着线度三次方减小，故$\mathrm{d} V$球形微元的电势随着线度平方减小， $\rho_e(\boldsymbol r)\mathrm{d} V$在$\boldsymbol r$处产生的电势当$\mathrm{d} V\to0$时也趋近于零，从而 也可以直接认为

$U(\boldsymbol r)$表示$\boldsymbol r$处的总电势。电荷线密度的体系不得使用此公式，因为$\lambda_e \mathrm{d} l$在自身处的电势不仅不趋于零，还会按$\ln(1/r)\to\infty$，因此，在计算静电能时，带电体的线径无论怎样小，都不能当作线电荷处理。

多个带电体组成的系统的静电能

设有$N$个带电体。先使用单一连续带电体的公式

注意点电荷、线电荷的自能不能计算自能；任意带电物之间都可以计算互能。 自能本质上只是由于对带电体空间划分引入的概念，只是把一部分带电体内部相互作用的能量抽离出来考察，与互能的来源都是静电相互作用，没有本质区别！

空间存在线性无损耗电介质情形

先说结论，静电能（就是负变化等于静电力做功的能量）定义为

我们定义宏观静电能

极化能

电荷体系在外电场中的静电能

电荷体系与（产生所谓外场的）电荷体系之间的能量本质是相互作用能。但如果把两个带电体分别视为研究对象和外环境，该式可被定义为电荷体系在外电场中的静电能

电场的能量和能量密度

近距作用观点认为电场能量本质上存在于电场中，因此我们可以定义静电能量密度

那么总的静电能就是能量密度对体积分。下式是万用的，即使是各向异性电介质、含时场等也适用

对于线性无损耗电介质，我们也可以推导出宏观静电能密度$w_{e0}=\frac1 2 \varepsilon_0 E^2$，极化能密度$w_{ep}=\frac1 2 \boldsymbol P\cdot\boldsymbol E$。

非线性介质及电滞损耗

此部分参考教材复习理解即可。

利用静电能求静电力

求解静电力的两个原则

1. 静电体系，静电力只与电荷和场分布有关，与如何维持这个静电系统的外界无关
2. 首选虚功原理解法，尽量掌握应力张量解法

静电力做功（注意不是外力克服静电力做功）的功能关系

其中$-\boldsymbol F_e \cdot \delta \boldsymbol s$就是静电力做功引起静电能变化，$\delta A$是非静电力（例如电源）做功。

力矩的静电能求法：静电力矩与转动角度实际也是一对广义力-广义位移，因此也满足功能关系

稳恒电流-NOTE

稳恒条件

电流强度与电流密度

电流强度定义：

只能描述整体电流大小；电流密度是精细矢量场量，描述导体内部各点电流分布。 面元电流关系：

载流子漂移速度

金属中电子定向漂移速度极慢 $u\sim 10^{-4},\text{m/s}$，通电瞬间灯亮是因为电场以光速传播。 电流密度与漂移速度关系：

$n$ 为电子数密度，$e$ 为元电荷，负号表示电流方向与电子漂移方向相反。

电流连续方程（电荷守恒）

积分形式：

微分形式：

稳恒条件结论

稳恒时电荷不随时间积累 $\dfrac{\partial \rho_e}{\partial t}=0$，故稳恒条件：

1. 稳恒电流电流线必闭合无起止点；
2. 无分支导线同一电流管各截面电流强度相等；
3. 稳恒电流激发的电场为静电场。

欧姆定律与焦耳定律

欧姆定律积分形式

导体电阻公式：

电阻率 $\rho$，电导率 $\sigma=\dfrac{1}{\rho}$；电导 $G=\dfrac{1}{R}$，单位西门子 $\text{S}$。

欧姆定律微分形式

适用范围比积分形式更广，非稳恒也可近似成立；场观点描述导电规律核心公式。

焦耳定律

积分热功率：

热功率密度（单位体积热功率）微分形式：

经典电子论微观解释

自由电子热运动无宏观电流；外电场下电子漂移、与晶格碰撞，产生电阻与焦耳热；碰撞后速度“失忆”，各向等概率散射。

欧姆定律失效情形

强电场、低气压电离气体、晶体管非线性器件、高频交变场、各向异性导体、超导体。

电源与电动势

非静电力与电动势

稳恒电流线闭合，需非静电力搬运电荷维持电势差。 电动势定义：单位正电荷绕回路一周非静电力做功

$\boldsymbol K$ 为单位正电荷受非静电力；电动势是标量，单位伏特。

电源内部欧姆定律

全电路欧姆定律

$r$ 电源内阻，$U$ 路端电压。 易错点：开路 $I=0\Rightarrow U=\mathcal{E}$；短路电流极大严禁短路；电源电动势、内阻由自身性质决定，与外电路无关。

稳恒电路静电场作用

调节导线与界面电荷分布；能量中转：静电力耗能、非静电力供能，闭合回路静电力总功为0。

基尔霍夫定律

电路基本概念

节点：3条及以上支路汇合点； 支路：两节点间电源电阻串联通路； 回路：闭合环路； 独立回路：每个回路含独有支路，平面电路取网孔即可。

基尔霍夫第一定律（节点电流定律）

本质是稳恒条件 $\nabla\cdot \boldsymbol j=0$。 独立方程数：$n$ 个节点给出 $n-1$ 个独立方程。

基尔霍夫第二定律（回路电压定律）

符号规则：先取回路绕行方向；绕行经电源内部从负到正 $\mathcal{E}$ 取正；电流方向与绕行同向 $IR$ 取正，反之负。 本质是静电场环路定理 $\oint \boldsymbol E\cdot \mathrm{d}\boldsymbol l=0$。

解题方法

支路电流法：设所有支路电流方向，联立节点+独立回路方程求解；结果为负表示实际电流与假设反向。 回路电流法：设独立回路电流，先解回路电流再求支路电流，与支路电流法等效。

稳恒电流与静电场综合求解

界面边界条件

介质分界面上：

即电场切向分量连续，电流密度法向分量连续。

场量对应类比

静电场 $\leftrightarrow$ 稳恒电流： $\boldsymbol E\leftrightarrow\boldsymbol E,\ \boldsymbol D\leftrightarrow\boldsymbol j,\ \varepsilon\leftrightarrow\sigma$。

结论：稳恒电流场分布仅由电导率 $\sigma$ 决定，与介电常数 $\varepsilon$ 无关；极化电荷、自由电荷配比与 $\varepsilon$ 有关。