This page is the ONELINE MIRROR VERSION of the 2nd part of Notes of Electromagnetics.A, CourseID PHYS1004.09, 2026 Spring, 5401, USTC. Last update : 20267/7/19; Status: @ editing, updating, final
静磁场-NOTE
毕奥–萨伐尔定律
定律形式
稳恒电流元$I \mathrm{d}\boldsymbol{l}$ 在空间场点产生的磁感应强度：
$$ \mathrm{d} \boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I \mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{e}_r}{r^2} $$遵循矢量叠加原理，总磁场为所有电流元磁场矢量和。
无限长直电流磁场结论
距离直线电流$r$ 处磁感应强度大小：
$$ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $$圆形电流环轴线上磁场（例题5.2结论）
半径$R$、电流$I$ 的圆线圈，轴上距环心$z$ 处：
$$ B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} $$定义圆线圈磁矩：
$$ \boldsymbol{m} = I\boldsymbol{S} = I\pi R^2 \boldsymbol{e}_z $$任意载流线圈远场磁场
当场点距离$r_0\gg$线圈尺度时，磁场等效为磁偶极子场，形式与电偶极子电场对偶，仅需用磁矩$\boldsymbol{m}$ 表征，无独立磁荷贡献
$$ \boldsymbol{B}=-\frac{\mu_0 \boldsymbol{m}}{4\pi r^3}+\frac{3\mu_0(\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{r})}{4\pi r^5}\boldsymbol{r} $$螺线管轴线磁场结论
单位长度匝数$n$，电流$I$：
- 无限长螺线管内部：$$B = \mu_0 n I$$
- 半无限长螺线管端面处：$$B = \dfrac{1}{2}\mu_0 n I$$
有限长螺线管轴上磁场为$B=\mu_0 nI\frac{\cos\beta_1-\cos\beta_2}{2}$，角度是场点与螺线管端点连线同轴线方向的夹角。
安培定律与电流单位定义
电流元间安培作用力
两稳恒电流元之间作用力不满足牛顿第三定律，但闭合回路间整体作用力满足牛顿第三定律。
$$ \mathrm{d} \boldsymbol{F}_{12}=\frac{\mu_0 I_1I_2 \mathrm{d} \boldsymbol{l}_2\times(\mathrm{d} \boldsymbol{l}_1\times \boldsymbol{r}_{12})}{4\pi r_{12}^3},\quad \boldsymbol{r}_{12}=\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1 $$静磁场基本定理
磁场高斯定理
积分形式：
$$ \oint_S \boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = 0 $$微分形式：
$$ \nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0 $$物理意义：磁场是无源场，无孤立磁单极，磁感应线为闭合曲线或无起止点。
安培环路定理
积分形式：
$$ \oint_L \boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}} $$微分形式：
$$ \nabla\times\boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j} $$电流正负：右手四指沿环路绕行方向，电流与大拇指同向取正，反向取负。 易错点：只有稳恒静磁场环路定理严格成立；时变磁场需引入位移电流修正。
磁矢势
磁矢势定义与基本关系
由$\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$ 可引入磁矢势$\boldsymbol{A}$，满足：
$$ \boldsymbol{B} = \nabla\times\boldsymbol{A} $$磁矢势积分表达式
线电流、体电流磁矢势：
$$ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\oint_L \frac{I \mathrm{d}\boldsymbol{l}'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|},\quad \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}') \mathrm{d} V'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} $$磁矢势性质
- 规范任意性：由于“梯度无旋，旋度无散”，$\boldsymbol{A}\to\boldsymbol{A}+\nabla\varphi$ 不改变$\boldsymbol{B}$；
- 闭合回路磁矢势环量等于回路围面磁通量：$\displaystyle\oint_L \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \Phi_B$；
- 无电流区域$\boldsymbol{A}$ 满足拉普拉斯方程，有电流区域满足泊松方程。
磁约束等离子体（磁镜模型）
磁镜磁场位形
由两个通有同向电流的共轴线圈构成，形成中间磁场弱、两端磁场强的轴对称磁场位形。
带电粒子运动分解与回旋磁矩
带电粒子速度分解为垂直和平行于磁场分量：
$$ \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}_\perp + \boldsymbol{v}_\parallel $$定义粒子回旋磁矩：
$$ m = \frac{\dfrac{1}{2}mv_\perp^2}{B} $$由磁矩守恒$m = \text{Const.}$
$$ \frac{v_{\perp}^2}{B} = \frac{v_{\perp0}^2}{B_0} $$一开始$v_{\perp0}=v\sin\theta_m$，随着粒子从中心弱磁场$B_0$ 向两端强磁场$B$ 运动时，$B$ 增大$\Rightarrow v_\perp$ 增大； 由于洛伦兹力不做功，总动能守恒：
$$ \frac{1}{2}m(v_\perp^2 + v_{\parallel}^2) = \text{常量} $$$v_\perp$ 增大则$v_\parallel$ 减小，直至镜点处$v_\parallel = 0,\ v_{\perp}=v$，粒子无法继续前进，被磁场反射反向螺旋运动，从而被约束在两镜之间。
磁镜比与临界投掷角
设中心磁场$B_0$，端部最大磁场$B_m$，定义磁镜比：
$$ R_m = \frac{B_m}{B_0} $$投掷角$\theta$ 为速度与磁场夹角，满足
$$ \sin^2\theta_m = \frac{B_0}{B_m} $$仅初始投掷角$\theta \ge \theta_m$ 的粒子能被磁镜捕获；$\theta<\theta_m$ 的粒子会从端部逃逸。
静磁场中的磁介质-NOTE
磁介质及其磁化强度$\boldsymbol{M}$
磁化强度定义
根据安培分子电流假说，已磁化物质的磁性来源于物质内部有规则排列的分子电流。描述磁介质磁化强弱与方向的宏观矢量，定义为体积元内分子磁矩的平均：
$$ \boldsymbol{M} = \frac{\sum \boldsymbol{m}_{\text{分子}}}{\Delta V} $$无外场时分子磁矩无序排列，$\boldsymbol{M}=\boldsymbol{0}$，介质处于未磁化状态。
磁化电流概念
磁化后分子电流有序排列形成的宏观等效电流。与传导电流对比：磁化电流无电荷宏观迁移、无焦耳热；二者均可激发磁场、受磁场作用力。
磁化强度与磁化电流积分关系
磁化强度沿闭合回路的环量等于回路包围的总磁化电流：
$$ \oint_L \boldsymbol{M} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = I'_{\text{总}} $$蓝色结论：均匀磁化介质（$\boldsymbol{M}=$ 常矢量）内部无磁化电流，磁化电流仅出现在介质界面或非均匀磁化区域。
磁化面电流边值关系
两磁介质分界面上，磁化面电流线密度$\boldsymbol{i}’$满足：
$$ \boldsymbol{i}' = \boldsymbol{n} \times (\boldsymbol{M}_2 - \boldsymbol{M}_1) $$$\boldsymbol{n}$ 为介质1指向介质2的界面法向单位矢量。
磁介质中静磁场的基本定理
磁感应强度基本定理
总磁场$\boldsymbol{B}$（传导电流+磁化电流共同激发）仍满足真空中磁场基本规律：
$$ \oint_S \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = 0,\quad \oint_L \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \mu_0(I_0 + I') $$磁场强度$\boldsymbol{H}$定义
引入辅助矢量消去磁化电流，简化环路定理，定义：
$$ \boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M} $$这个式子描述了三个矢量场的关系，是磁介质里最根本的结构方程，与磁介质材料特有属性无关。
磁介质中安培环路定理
引入$\boldsymbol{H}$后，环路定理仅保留传导电流：
$$ \oint_L \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = I_0 $$$I_0$ 为闭合回路$L$包围的传导电流代数和。
介质的磁化规律
线性各向同性磁介质本构关系
弱磁介质（顺磁、抗磁）满足磁化强度与磁场强度线性相关：
$$ \boldsymbol{M} = \chi_m \boldsymbol{H} $$$\chi_m$ 为磁化率，由此推导出磁介质性能方程：
$$ \boldsymbol{B} = \mu \boldsymbol{H},\quad \mu = \mu_0(1+\chi_m) $$顺磁质与抗磁质区分
- 顺磁质：$\chi_m>0,\ \mu>\mu_0$，磁化率量级 $10^{-4}\sim 10^{-5}$；
- 抗磁质：$\chi_m<0,\ \mu<\mu_0$，磁化率量级 $10^{-5}\sim 10^{-7}$；
二者均为弱磁性物质。
边值关系和唯一性定理
磁感应强度法向边值关系
磁介质分界面无自由磁荷，$\boldsymbol{B}$ 法向分量连续：
$$ \boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{B}_2 - \boldsymbol{B}_1) = 0 $$磁场强度切向边值关系
界面存在传导面电流$\boldsymbol{i}_0$时：
$$ \boldsymbol{i}_0 = \boldsymbol{n} \times (\boldsymbol{H}_2 - \boldsymbol{H}_1) $$蓝色常用结论：一般介质界面无传导面电流（$\boldsymbol{i}_0=\boldsymbol{0}$），则$\boldsymbol{H}$切向分量连续：
$$ \boldsymbol{n} \times (\boldsymbol{H}_2 - \boldsymbol{H}_1) = \boldsymbol{0} $$两类典型介质界面模型
-
介质界面与磁感应线重合：$\displaystyle \boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}_0}{\mu_0}$，各区磁感应强度 $\boldsymbol{B}_i = \mu_i \boldsymbol{H}$；
-
介质界面与磁感应线垂直（等磁势面）：填充介质后 $\boldsymbol{B} = \alpha \boldsymbol{B}_0$，$\alpha$ 为待定常数，结合边界条件求解。
磁路定理及其应用
磁路与电路类比
利用数学形式相似性，将磁场线管等效为磁路，对标直流电路分析。
基本物理量对应关系
磁通量 $\Phi_B = B S \leftrightarrow$ 电流 $I=jS$； 磁阻 $R_m \leftrightarrow$ 电阻 $R$；磁导率 $\mu \leftrightarrow$ 电导率 $\sigma$。
分段磁阻公式
分段均匀磁路，第$i$段磁阻：
$$ R_{mi} = \frac{l_i}{\mu_i S_i} $$总磁阻满足串联关系 $\displaystyle R_m = \sum_i R_{mi}$。
磁路定理（磁路欧姆定律）
闭合磁路中，磁动势$\mathcal{E}m$、磁通量、总磁阻满足： $$ \mathcal{E}_m = \Phi_B R_m $$ 单段磁路磁势降为 $\Phi_B R{mi}$；闭合磁路中磁通量$\Phi_B$处处相等。
电磁感应-NOTE
法拉第电磁感应定律与楞次定律
法拉第电磁感应定律
任意闭合回路感应电动势等于磁通量变化率的负值，是处理所有感应问题总纲领。
$$ \mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t},\quad \Phi = \iint_S \boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} $$负号物理意义由楞次定律解释，是能量守恒的数学体现。
电磁场是统一整体，电场、磁场的划分依赖观测惯性系，电、磁是同一张量场的不同分量，无绝对区分。
两类“磁生电”
动生电动势公式
考察一个任意形状的导体闭合线圈在任意恒定磁场中运动或形变， 线圈两端之间的动生电动势为
$$ \mathcal{E} = \oint_C (\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} $$一般地，一段载流导线$a\to b$
$$ \mathcal{E}_{ab} = \int_a^b (\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} $$动生电动势源于洛伦兹力，同下面的涡旋电场无关。
洛伦兹力不做功与安培力做功的辨析
电子总速度为导体运动速度$\boldsymbol{v}$加漂移速度$\boldsymbol{u}$，总洛伦兹力$\boldsymbol{F}=-e(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u})\times\boldsymbol{B}$分解为两分量：
$$ \begin{cases} \boldsymbol{f}=-e\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B} & \text{驱动电荷，产生动生电动势，做正功}\\ \boldsymbol{f}'=-e\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{B} & \text{阻碍导体运动，做负功} \end{cases} $$总功率$P=(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{f}’)\cdot(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u})=0$，洛伦兹力仅传递能量，外力做功转化为电能。
感生电动势与涡旋电场
导体不动、磁场随时间变化时，非静电力本质为变化磁场激发的涡旋电场$\boldsymbol{E}_\text{旋}$。闭合线圈的感生电动势就是涡旋电场沿着回路积分：
$$ \mathcal{E} = \oint_L \boldsymbol{E}_\text{旋}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = -\iint_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} $$涡旋电场微分形式
- 旋度微分方程 $$ \nabla\times\boldsymbol{E}_\text{旋} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} $$
- 代入$\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}$，交换微分次序可得 $$ \boldsymbol{E}_\text{旋} = -\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t},\quad \boldsymbol{E}_\text{总} = -\nabla\psi - \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} $$
涡电流及其应用
块状金属在时变磁场中产生闭合涡旋电流：
- 有利：感应加热、电磁阻尼（仪表指针快速稳定）；
- 有害：铁芯发热损耗，解决办法：铁芯分层绝缘。
例题：电子感应加速器原理
交变电磁铁产生随时间线性变化的轴对称磁场，激发闭合涡旋电场对电子切向加速。 径向洛伦兹力要维持电子轨道半径$R$恒定；由洛伦兹向心力条件
$$mv^2/R=evB_R$$结合涡旋电场环路定理$\oint_L \boldsymbol{E}_\text{旋}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=-d\Phi/dt$，计算电子受冲量
$$ -eE_\text{旋}=\frac{e}{2\pi R}\frac{d\Phi}{dt}=\frac{dp}{dt} $$设$t=0$时$\Phi=0,\ v=0$，积分得动量关系$mv=\dfrac{eR}{2}\bar{B}$，其中$\bar{B}$为轨道包围区域平均磁感应强度，联立得到轨道处磁场约束条件$B_R=\bar{B}/2$。
磁场按正弦规律变化时，仅第一个1/4周期内涡旋电场方向可加速电子且洛伦兹力提供向心力，剩余时段电场反向或径向力向外无法维持圆周运动，需在1/4周期末引出电子束，同时高速加速电子会因电磁辐射损耗能量，限制加速器最高能量。
电感
自感定义与自感电动势
单线圈通电流$I$，自感系数定义为总磁匝链磁通与电流之比$\Psi_\text{m}=LI$，对应的自感电动势核心公式：
$$ \mathcal{E}_L = -L\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t} $$红色重点：细导线理想线圈内部无磁场，可直接取$\Psi_\text{m}=N\int\boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}$；但实际导线有粗细，导线内部存在磁场，穿过导线内部微元面积的磁通$d\Phi$仅包围总电流$I$中的部分电流$I’$，该微元磁通等效只交联$I’/I$匝，不能直接按1匝计算贡献，因此完整总匝链磁通必须引入有效匝数权重积分：
$$ \Psi_\text{m} = \int \frac{I'}{I}d\Phi $$该积分区分两部分贡献：外部磁通（包围全部电流$I’=I$，权重为1，对应外自感）、导线内部磁通（$I’<I$，权重小于1，对应内自感）。 典型模型长直螺线管默认导线极细、忽略内自感，同轴电缆计算时必须用上述积分求单位长度内自感，是考试计算题常见坑点。
当然，我们非常推荐大家使用能量定义的自感，因为这样不用管有效磁通这种麻烦的东西，更好算。具体做法就是先计算全体系磁能（使用做功法或者能量密度积分），然后利用$L=2W_m/I^2$得到。
互感定义与互感系数对称性
线圈1电流$I_1$在线圈2产生匝链磁通$\Psi_{12}=M I_1$；线圈2电流$I_2$在线圈1产生$\Psi_{21}=M I_2$，$M_{12}=M_{21}=M$。 互感电动势：
$$ \mathcal{E}_1 = -M\frac{\mathrm{d} I_2}{\mathrm{d} t},\quad \mathcal{E}_2 = -M\frac{\mathrm{d} I_1}{\mathrm{d} t} $$典型互感例题结论
- 长直螺线管（$N_1,l,S$）外绕$N_2$匝线圈： $$ M = \mu_0 \frac{N_1 N_2 S}{l} $$
- 大小共面圆线圈$R\gg r$： $$ M = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R} $$
同名端、异名端与线圈串并联
**同名端定义：**电流从同名端流入，自感磁通与互感磁通同向叠加；异名端流入则反向抵消。
- 串联顺接（同名端相连）总自感 $$ L_\text{顺} = L_1 + L_2 + 2M $$
- 串联反接（异名端相连）总自感 $$ L_\text{反} = L_1 + L_2 - 2M $$
红色限制条件：为保证自感非负，$M\leq \dfrac{L_1+L_2}{2}$；耦合系数$k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}\leq 1$。
似稳电路与暂态过程
似稳条件
电路线度$l \ll \lambda$（电磁波波长），电路各点电动势、电流同步变化，可借用稳恒电路基尔霍夫定律。
RL电路暂态过程（时间常数$\tau=L/R$）
- 充电（接通直流电源） $$ I(t) = I_0 \left(1 - e^{-t/\tau}\right),\quad I_0 = \frac{\mathcal{E}}{R} $$ $t=\tau$时电流达稳态63.2%；
- 放电（断开电源短接） $$ I(t) = I_0 e^{-t/\tau} $$ $t=\tau$时电流衰减至原值36.8%。
RC电路暂态过程（时间常数$\tau=RC$）
- 充电：$U_C(t) = \mathcal{E}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$
- 放电：$U_C(t) = \mathcal{E}e^{-t/\tau}$
RLC阻尼振荡分类
令阻尼系数$\beta=\dfrac{R}{2L}$，固有角频率$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$：
- 欠阻尼$\beta<\omega_0$：电荷衰减振荡；
- 临界阻尼$\beta=\omega_0$：无振荡，最快回到稳态；
- 过阻尼$\beta>\omega_0$：单调缓慢趋近稳态。