This page is the ONELINE MIRROR VERSION of the 3rd part of Notes of Electromagnetics.A, CourseID PHYS1004.09, 2026 Spring, 5401, USTC. Last update : 20267/7/19; Status: @ editing, updating, final
磁能-NOTE
载流线圈系统的磁能
单线圈自感磁能
RL电路充电时电源做功一部分转化焦耳热，一部分储存为线圈磁场能量；放电时全部磁能释放为热量。磁能
$$ W_m = \frac{1}{2}LI^2 $$多线圈系统总静磁能
总磁能包含自感磁能与互感磁能，与电流建立次序无关，对称形式：
$$ W_m = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N L_i I_i^2 + \sum_{i=1}^N\sum_{k>i} M_{ik}I_i I_k $$若令$M_{ii}=L_i$，则：
$$ W_m = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{k=1}^N M_{ik}I_i I_k $$可以发现电感矩阵$M$对角元非负。
载流线圈在外磁场中的磁能
互能定义
单个线圈在外磁场中的磁能 = 线圈与外场源线圈之间的互能，不含各自自感磁能。
磁矩与外场（磁）互能
均匀外磁场中磁矩$\boldsymbol{m}$的线圈磁能：
$$ W_{m,\text{外}} = \boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{B} $$注意：当磁矩$m$几何线度远小于外场不均匀尺度，就可以把外场当作在其局部是均匀的。
磁场能量与磁能密度
线性介质磁能密度
线性无损耗介质中磁场能量密度公式：
$$ w_m = \frac{1}{2}\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{H} = \frac12 BH $$各向同性介质$\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$，代入得：
$$ w_m = \frac{B^2}{2\mu} = \frac12\mu H^2 $$空间总磁能计算方法
全场积分求总磁能：
$$ W_m = \iiint_V w_m \,\mathrm{d} V $$做题标准流程：$\boldsymbol{H}\to w_m\to$体积积分$\to W_m\to L=2W_m/I^2$。
利用磁能求磁力与磁力矩
两类虚位移条件（只是不同计算方法，结果应一样）
-
电流恒定（电源接通） 电源做功等于磁能增量2倍，磁力做功等于磁能增量：
$$ \delta A = (\delta W_m)_I,\quad \boldsymbol{F} = \nabla W_m\big|_{I=\text{const}} $$磁力矩 $M_\theta = \dfrac{\partial W_m}{\partial\theta}\bigg|_{I}$
-
磁通恒定（开路，电源断开） 无感应电动势，电源不做功，磁力消耗磁能：
$$ \delta A = -(\delta W_m)_\Psi,\quad \boldsymbol{F} = -\nabla W_m\big|_{\Psi=\text{const}} $$磁力矩 $M_\theta = -\dfrac{\partial W_m}{\partial\theta}\bigg|_{\Psi}$
易错提醒：梯度前正负号由约束条件决定，做题必须先判断电流/磁通不变。 我们在这里重申：面对小磁矩在外场受力问题的通用流程：
- 不论固有磁矩还是载流环，统一理解成载流环，这不影响解答结果
- 载流环受力问题有如上两种解决办法，虚功过程不同，但答案应一样
- 我们推荐统一按照电流不变来算，因为求导方便，结果就是 $F=\left.\dfrac{\partial (\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{B})}{\partial q}\right|_{I}$
交流电路-NOTE
简谐交流电与复数表示
简谐量时域表达式
电压、电流的余弦表示形式
$$ u(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi_u),\quad i(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi_i) $$特征量关系：
$$ \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} $$复数相量规则
峰值相量 $\tilde A = A_m \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$，实际瞬时值取实部：$a(t)=\mathrm{Re}(\tilde A)$； 四则运算：
$$ \begin{aligned} \tilde A_1\pm\tilde A_2 &= (x_1\pm x_2)+\mathrm{i}(y_1\pm y_2)\\ \tilde A_1\cdot\tilde A_2 &= A_{1m}A_{2m}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi_1+\varphi_2)}\\ \frac{\tilde A_1}{\tilde A_2} &= \frac{A_{1m}}{A_{2m}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi_1-\varphi_2)} \end{aligned} $$复阻抗与交流电路求解
复阻抗
$$ Z_R = R,\quad Z_L = \mathrm{i}\omega L,\quad Z_C = \frac{1}{\mathrm{i}\omega C} $$相位规律：
- 电阻：电压电流同相；
- 电感：电压超前电流$\pi/2$；
- 电容：电流超前电压$\pi/2$。
阻抗模：感抗$Z_L=\omega L$，容抗$Z_C=1/(\omega C)$。
串并联阻抗公式
串联总阻抗：
$$ Z_{\text{总}} = Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n $$并联总阻抗：
$$ \frac{1}{Z_{\text{总}}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \dots + \frac{1}{Z_n} $$基尔霍夫复数形式
节点：$\sum\tilde I = 0$；回路：$\sum\tilde U = \sum\tilde{\mathcal{E}}$；仅适用于低频似稳电路。
交流电功率、功率因数、视在功率
瞬时功率分解
设电压电流相位差$\varphi=\varphi_u-\varphi_i$，$V,I$为有效值：
$$ p(t) = VI\cos\varphi + VI\cos(2\omega t+\varphi_u+\varphi_i) $$第一项恒定有功分量，第二项二倍频振荡储能交换分量。
三类功率定义
- 有功功率（平均功率，实际消耗）： $$ P = VI\cos\varphi $$ 仅电阻消耗功率，电感电容一周期平均有功为0；
- 无功功率（储能元件能量交换规模）： $$ Q = VI\sin\varphi $$
- 视在功率（电源额定容量）： $$ S = VI $$
三者关系：
$$ S^2 = P^2 + Q^2 $$功率因数
$$ \lambda = \cos\varphi = \frac{P}{S} $$提高功率因数可减小线路电流，降低输电损耗，充分利用电源容量；市电电网往往是感性的，因此发电厂可以并联容性电路提升功率因子。
串联谐振与品质因数$Q$
RLC串联谐振条件
总阻抗虚部为0，电路呈纯电阻性：
$$ \omega L - \frac{1}{\omega C} = 0 $$谐振角频率/频率：
$$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},\quad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$谐振特性
- 阻抗最小 $Z_{\text{min}}=R$，回路电流最大 $I_0=U/R$；
- $U_L = U_C = Q U$，电感、电容分压可远大于总电压；
- 总电压与电流同相位，$\varphi=0$，功率因数$\lambda=1$。
品质因数$Q$
$$ Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} $$物理意义：
- 储能与一周期耗能比值；
- 谐振时电感/电容电压与总电压倍数；
- 表征谐振曲线尖锐程度，$Q$越大选频能力越强。
麦克斯韦方程组与电磁波-NOTE
麦克斯韦理论建立基础
静电/静磁场通量定理的推广
静电场高斯定理、静磁场高斯定理可直接推广至含时电磁场，是构建普适电磁规律的基础：
$$ \nabla\cdot\boldsymbol{D} = \rho_0,\quad \nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0 $$涡旋电场假设
时变磁场激发涡旋电场（非保守场），电场环路定理统一为：
$$ \oint_C \boldsymbol{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = -\iint_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} $$微分形式：
$$ \nabla\times\boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} $$位移电流假设
稳恒安培环路定理无法满足电荷守恒，麦克斯韦引入位移电流密度补全磁场激发源：
$$ \boldsymbol{j}_d = \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} $$总电流密度：$\boldsymbol{j}_\text{总}=\boldsymbol{j}_0+\boldsymbol{j}_d$，普适安培环路定理：
$$ \oint_C \boldsymbol{H}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \iint_S \left(\boldsymbol{j}_0+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} $$微分形式：
$$ \nabla\times\boldsymbol{H} = \boldsymbol{j}_0 + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} $$（注意只用$\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}$书写的麦氏方程需要包含磁化电流）
位移电流物理本质与区分
-
构成：$\boldsymbol{j}_d=\varepsilon_0\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}+\dfrac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial t}$，$\partial \boldsymbol{P}/\partial t$为极化电流，$\partial \boldsymbol{E}/\partial t$是真空纯时变电场生磁；
-
与传导电流$\boldsymbol{j}_0$核心区别：
- 无自由电荷定向运动，真空/介质均可存在
- 不产生焦耳热
- 不受洛伦兹磁力作用
- 物理意义：变化电场等价于电流，同样能激发磁场，是电磁波存在的根本前提。
电荷守恒定律不独立
对$\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}_0+\partial\boldsymbol{D}/\partial t$两边取散度，利用$\nabla\cdot(\nabla\times\cdot)\equiv0$与$\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho_0$直接推得：
$$ \nabla\cdot\boldsymbol{j}_0 + \frac{\partial \rho_0}{\partial t} = 0 $$易错说明：电荷守恒是推导位移电流的出发点，因此该式可由麦氏方程组导出，不属于独立方程。
完整麦克斯韦方程组与介质边值关系
积分形式
$$ \begin{align} \oint_S \boldsymbol{D}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} &= \iiint_V \rho_0 \mathrm{d} V \tag{电高斯} \\ \oint_S \boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} &= 0 \tag{磁高斯} \\ \oint_C \boldsymbol{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} &= -\iint_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} \tag{涡旋电场} \\ \oint_C \boldsymbol{H}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} &= \iint_S \left(\boldsymbol{j}_0+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} \tag{全电流安培} \end{align} $$微分形式
$$ \begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{D} &= \rho_0 \\ \nabla\cdot\boldsymbol{B} &= 0 \\ \nabla\times\boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \\ \nabla\times\boldsymbol{H} &= \boldsymbol{j}_0 + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \end{align} $$介质电磁性能方程
$$ \boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E},\quad \boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H},\quad \boldsymbol{j}_0=\sigma\boldsymbol{E} $$介质分界面边值关系（边界反射折射基础）
$$ \begin{cases} \boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{D}_2-\boldsymbol{D}_1)=\sigma_0,\quad \boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{B}_2-\boldsymbol{B}_1)=0\\ \boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{E}_2-\boldsymbol{E}_1)=\boldsymbol{0},\quad \boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{H}_2-\boldsymbol{H}_1)=\boldsymbol{i}_0 \end{cases} $$易错说明：时变场中环路窄条的$\partial\boldsymbol{B}/\partial t$面积分可忽略，切向$\boldsymbol{E}$、法向$\boldsymbol{B}$边界条件与稳恒场完全一致。
电磁场标势、矢势与洛伦兹规范
标势矢势引入依据
由$\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$，令$\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}$；代入电场环路定理可引入标势$\varphi$：
$$ \boldsymbol{E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} $$洛伦兹规范条件
势存在规范任意性，为简化波动方程，选取洛伦兹规范：
$$ \nabla\cdot\boldsymbol{A} + \mu\varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0 $$洛伦兹规范的重要意义：消除标势、矢势耦合，将麦氏方程组拆分为标量、矢量分离的达朗贝尔波动方程，导出达朗贝尔方程
$$ \nabla^2 \varphi - \mu\varepsilon \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = -\frac{\rho_0}{\varepsilon},\quad \nabla^2 \boldsymbol{A} - \mu\varepsilon \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2} = -\mu \boldsymbol{j}_0 $$无自由源（$\rho_0=0,\boldsymbol{j}_0=0$）退化为齐次波动方程，对应自由传播电磁波。
平面单色电磁波
自由空间波动方程推导结论
无源均匀线性介质$\rho_0=0,\boldsymbol{j}_0=0$，麦氏方程化简得电场、磁场波动方程：
$$ \nabla^2 \boldsymbol{E} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2} = \boldsymbol{0},\quad \nabla^2 \boldsymbol{H} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol{H}}{\partial t^2} = \boldsymbol{0} $$波传播速度：
$$ v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}},\quad \text{真空光速 } c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} $$介质折射率：$n=\dfrac{c}{v}=\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}$，弱磁介质$\mu_r\approx1$，$n\approx\sqrt{\varepsilon_r}$。
平面单色波标准解
$$ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{E}_0 \exp\left[\mathrm{i}(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega t)\right],\quad \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{H}_0 \exp\left[\mathrm{i}(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega t)\right] $$波矢定义：
$$ |\boldsymbol{k}|=k=\frac{\omega}{v}=\frac{2\pi}{\lambda} $$$\boldsymbol{k}$方向为电磁波传播方向；单色波微分替换：$\partial/\partial t\to -\mathrm{i}\omega,\ \nabla\to \mathrm{i}\boldsymbol{k}$。
平面电磁波重要性质
- 横波：$\boldsymbol{k}\perp\boldsymbol{E},\ \boldsymbol{k}\perp\boldsymbol{H}$，电场、磁场均垂直传播方向；
- 正交右旋关系：$\boldsymbol{E}\perp\boldsymbol{H}$，$\boldsymbol{E},\boldsymbol{H},\boldsymbol{k}$构成右手螺旋坐标系；
- 场幅值比例关系：真空/介质中 $$ \sqrt{\varepsilon}E_0 = \sqrt{\mu}H_0 $$
- 电场磁场能量密度相等：瞬时电磁能密度$w_e=w_m$，总$w=w_e+w_m=2w_e$。
色散现象
介质$\varepsilon(\omega),\mu(\omega)$随电磁波频率$\omega$变化，波速$v(\omega)$与波长相关，产生色散；束缚电子受迫振动模型给出介电常数实部（折射率）、虚部（吸收）随波长变化曲线，共振频率处出现反常色散与吸收峰。
电磁场的能量、动量、角动量
电磁能密度与坡印亭矢量（能流）
线性介质瞬时总电磁能密度：
$$ w = \frac12 \boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E} + \frac12 \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{H} $$坡印亭矢量（单位时间单位面积传输电磁能量，能流密度）：
$$ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H} $$能量守恒微分形式（电磁能量连续性方程）：
$$ \nabla\cdot\boldsymbol{S} + \frac{\partial w}{\partial t} = -\boldsymbol{j}_0\cdot\boldsymbol{E} $$右侧代表场对自由电荷做功功率密度。
平面电磁波平均能流（光强）
简谐时谐场取时间平均：
$$ \langle \boldsymbol{S} \rangle = \frac12 \mathrm{Re}\left(\boldsymbol{E}_0^* \times \boldsymbol{H}_0\right) $$真空平面波：$\langle S \rangle = c\langle w \rangle$。
电磁场动量密度与光压
动量密度（单位体积电磁动量）：
$$ \boldsymbol{g} = \varepsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B} $$真空简化：$\boldsymbol{g}=\boldsymbol{S}/c^2$；电磁波入射物体传递动量产生光压。 垂直入射，反射系数$\gamma$，光压压强：
$$ P = \frac{(1+\gamma)}{v}\langle S \rangle $$全吸收$\gamma=0$，全反射$\gamma=1$。
电磁场角动量密度
$$ \boldsymbol{l} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{g} $$电磁场具有角动量，可对带电介质施加力矩，是光操控微粒的理论基础。
电磁场物质属性
电磁场是独立物质形态，与实物共性：具备能量、动量、角动量；差异：
- 场基元光子静质量为0，实物粒子静质量非零；
- 真空传播速度恒为$c$，实物速度小于$c$；
- 多场可空间叠加，实物具有不可入性。
补充：电磁波辐射基础
电偶极辐射结论
简谐振荡电偶极子辐射功率正比于振荡频率四次方$P\propto f^4$，高频天线辐射效率更高；赫兹实验利用LC振荡振子验证电磁波存在，证明麦克斯韦理论正确性。
易错点汇总
- 位移电流不依赖电荷运动，仅由时变电场产生；传导电流才伴随焦耳热；
- $\nabla\cdot\boldsymbol{B}\equiv0$ 任何时变场均成立，不存在磁单极；
- 洛伦兹规范仅为简化方程的人为选取，麦氏方程本身具有规范不变性；
- 平面电磁波为横波，不存在沿传播方向的电场/磁场分量；
- 电磁场动量、能量是场本身固有属性，不是依附电荷的附属量；
- 电荷守恒可由麦氏方程组导出，独立方程仅4个麦氏方程。